最新考研数学复习讲义-强化提高1-3通用版

最新考研数学复习讲义-强化提高1-3通用版内容摘要：

  nnn 321323232l i m 132  解 ： 例 2 中取32a，32r，可知原式 =5232132 （ 2） 342323131121211lim  nnn 例 3．求nnnnn 3223lim 11  解： 分子、分母用 n3 除之， 原式 = 31322323lim  nnn 或分子分母用 13n 除之，原式 331)32()32(311lim1 nnn （注：主要用当 1r 时， 0lim  nn r） 13 例 4． 设 l 是正整数，求   nkn lkk11lim 解： 例如 2l 时，  )2( 1)1)(1( 1...64 153 142 131 1211  nnnnkknk   )211()1111(...)6141()5131()4121()311(21 nnnn   211121121 nn     11111 kkllkk     nk lnnllkk11111211111  因此原式   ll 12111  特列： （ 1）   nkn kk1 111lim  1l （ 2）    nkn kk1 432112121lim  2l 二、用两个重要公式 例 1． 求nn xxx 2c os4c os2c oslim  解： 当 0x ，原式 1 当 0x 时，原式nnnnnn xxxxx2s i n22c os4c os2c os2s i n2l i m  nnnnnn xxxxx2s i n22s i n2c o s4c o s2c o s2l i m 111  nnnnnn xxxxxx2s i n2s i nl i m2s i n2s i nl i m  xxsin 14 例 2．求 xx xx   11lim 解一：    211111l i m/1 /1l i m11l i m       eeexxxxxxxxxxxxxxx 解二： 21221121l i m11l i m        exxx x xxxxx 例 3．   xx x 2cot0 coslim   xxx x 22s in2c os20 sin1lim        2c oss in120 22s in1lim   xxx x21e 三、用夹逼定理求极限 例 1．求   nnn 2 12654321lim  解： 令nnx n 2 12654321  ， 12 25432  n nyn ， 则 nn yx 0 ，于是12 10 2  nyxx nnn 由夹逼定理可知： 0lim 2  nn x，于是原极限为 0 例 2．求  nkn knnk1 2lim 口诀（ 14） :n 项相加先合并；不行估计上下界。 解：    nk nnnknn knnn n1 222 12121  而   212121l i m221l i m2  nnnnnnnnn   211121l i m121l i m 22     nn nnnn n nn  15 由夹逼定理可知  nkx knnk1 2 21lim 例 3．求 xx dttx 0 sin1lim 解：   2s ins in01     tdtdttkk 设   1 nxn ，则    12s i ns i ns i n2 1000    ndttdttdttn nxn  于是，     nndttxn n x 12s in112 0     212lim  n nn，   212lim  nnn， 由夹逼定理可知，2sin1lim 0  xx dttx 四、用定积分定义求数列的极限 例 1．求  nkn knn1 22lim 分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑  nk nnkn nnn n1 222222221 而 21lim222  nnnn， 11lim 22 2  n nn 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑 解：  nknnknnknknn1 21 22 111l i ml i m 401a rc t a n110 2   xxdx 例 2．求  nknknnk1 1sinlim 16 解：  nknknk nknknnknkn 111 s i n11s i ns i n11  而 2s i ns i n1l im 101   x dxnkn nkn  2s i n11l i ms i n11l i m 11    nknnkn nknn nnkn 由夹逼定理可知，21sinlim1nknknnk 五、用洛必达法则求极限 1．00型和型 例 1．求nnnn 1sin1sin1lim3 解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 3030 s i nl i ms i n s i nl i m x xxx xx xx   等价无穷小代换 616s inlim3 c os1lim 020   xxx x xx 61原式 例 2．求10102limxexx 解：若直接用00型洛必达法则 1，则得12109130 5lim102lim 22xexex xxxx  （不好办了，分母 x 的次数反而增加） 为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令 tx 21 于是ttttxx ettexe 551010 limlimlim2   型 0!5lim5lim 4  tttt eet  口诀（ 15）：变量替换第一宝；由繁化简常找它。 例 3．设函数 )(xf 连续， 0)0( f ，求 xxx dttxfxdttftx000 )()()(lim 17 解：原式  xx xx duufxdtttfdttfx00 00 )()()(lim （分母作变量替换 utx  ）  xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim （用洛必达法则，分子、分母各求导数） （用积分中值定理） )()( )(lim )0( 0 xxfxf xfx    （  在 0 和 x 之间） 21)0()0( )0(  ff f 2．  型和 0  型 例 1．求   2220 c ossin1lim x xxx 解：原式xx xxxx 22 2220 s in c oss inlim   42202sin41limxxxx 30 42c o s2s in442limxxxxx 30 24sin41limxxxx 20 6 4cos1lim x xx   x xx 12 4sin4lim0 34 例 2．设 0a ， 0b 常数。 求  xxx bax11lim 解：原式tbatxxba tttxxx 011l i m11l i m 令  型00 用洛必达法则  bbaa ttt lnlnlim0   ba lnln  baln 3． 1 型， 00 型和 0 型 这类都是   )()(lim xgxf 形式可化为  )(ln)(lim xfxge 而  )(ln)(lim xfxg 都是 0  型，按 2 的情形处理 例 1．求 xx x 2sin0lim 解：令 xxy 2sin ， xxy lnsinln 2 18 021l i m1lnl i mlnl i mlns i nl i mlnl i m302020200 xxxxxxxxyxxxxx 1lim 00   eyx 例 2．设 0a ， 0b 常数，求 nnnnba   2lim 解：先考虑xxxxba  2lim11它是 1 型 令xxx bay  211， 。