数学练习题考试题高考题教案专题6：立体几何题型与方法文科

数学练习题考试题高考题教案专题6：立体几何题型与方法文科内容摘要：

为 P（ 0， y， z） . ),3( zyBP  . ∵ DP∥平面 AB1C， n=（－ 1， 0， 1）为平面 AB1C 的法向量， ,.0,331,),3,1,0(),3,1,0(,.3,0031111CABDPyyAAAPAAyAPAAPzznDP平面又得由上在直线点又得由 故存在点 P，使 DP∥平面 AB1C，其坐标为（ 0， 0， 3 ），即恰好为 A1点 . 点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。 例题 8. (2020 安徽文 ) 如图，在三 棱锥 V ABC 中， VC AB C⊥ 底 面 ， AC BC⊥ ， D 是 AB 的中点，Ｖ 且 AC BC a， π02V D C   ∠． （ I）求证：平面 VAB⊥ 平面 VCD ； （ II）试确定角  的值，使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 π6． 解法 1：（ Ⅰ ） AC BC a∵ ， ACB∴ △ 是等腰三角形，又 D 是 AB 的中点， CD AB∴ ，又 VC 底面 ABC ． VC AB∴ ．于是 AB 平面 VCD ． 又 AB 平面 VAB ， ∴ 平面 VAB 平面 VCD ． （ Ⅱ ） 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H ，则由（ Ⅰ ）知 CD 平面 VAB ． 连接 BH ，于是 CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角． 依题意 π6CBH，所以 在 CHDRt△ 中， 2 sin2CH a ； 在 BHCRt△ 中， πsin62aCH a， 2sin 2 ∴ ． π0 2∵ ， π4∴ ． 故当 π4时，直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 π6． 解法 2：（ Ⅰ ）以 CA CB CV， ， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 2( 0 0 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) 0 0 0 ta n2 2 2aaC A a B a D V a   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是， 2 ta n2 2 2aaV D a ， ， 022aaCD ， ， ( 0)AB a a， ， ． 从而 2211( 0 ) 0 0 02 2 2 2aaA B C D a a a a      ， ， ， ， ，即 AB CD ． 同理 222 1 1( 0 ) ta n 0 02 2 2 2 2aaA B V D a a a a a       ， ， ， ， ， 即 AB VD ．又 CD VD D ， AB∴ 平面 VCD ． 又 AB 平面 VAB ． ∴ 平面 VAB 平面 VCD ． （ Ⅱ ）设平面 VAB 的一个法向量为 ()x y z ， ，n ， V z 则由 00AB VD， nn． 得 0 2ta n 02 2 2ax ayaax y az      ，． 可取 (1 1 2 cot ) ， ，n ，又 (0 0)BC a， ， ， 于是2π 2si n si n622 2 c otBC aBC a   nn ， 即 2sin2 π0 2∵， π4∴ =． 故交 π4=时，直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 π6． 解法 3：（ Ⅰ ）以点 D 为原点，以 DC DB， 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 2 2 2( 0 0 0 ) 0 0 0 0 0 02 2 2D A a B a C a                    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 220 ta nV a a ， ，于是 220 ta nD V a a ， ， 2 002D C a， ， (0 2 0)AB a ， ， ． 从而 (0 2 0)AB D C a ， ， 2 0 0 02 a， ，，即 AB DC ． 同理 22( 0 2 0 ) 0 ta n 0A B D V a a a   ， ， ， ，，即 AB DV ． 又 DC DV D ， AB∴ 平面 VCD ． 又 AB 平面 VAB ， ∴ 平面 VAB 平面 VCD ． （ Ⅱ ）设平面 VAB 的一个法向量为 ()x y z ， ，n ， 则由 00AB DV， nn，得 2022ta n 0ayax az    ，． 可取 (tan 01)n  ， ， ，又 22 0B C a a  ， ， 于是22 ta nπ 22sin sin621 ta naBCBC a   nn ， A D B C V x y 即 π π πs in 02 2 4    ， ，∵ ∴ =． 故交 π4时， 即直线 BC 与平面 VAB 所成角为 π6． 考点五 折叠、展开问题 例题 9．（ 2020 年辽宁高考）已知正方形 ABCD新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ E 、 F 分别是 AB 、 CD 的中点 ,将 ADE 沿 DE 折起 ,如图所示 ,记二面角 A DE C的大小为 (0 )  新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ (I) 证明 //BF 平面 ADE。 (II)若 ACD 为正三角形 ,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上 ,证明你的结论 ,并求角  的余弦值新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ 分析 :充分发挥空间想像能力，抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明 . 解析 : (I)证明 :EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、 CD 的中点 , EB//FD,且 EB=FD, 四边形 EBFD 为平行四边形新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ BF//ED. ,E F A E D B F A E D平 面 而 平 面, //BF 平面 ADE新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ (II)如右图 ,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 ,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G,连结 GC,GD新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/  ACD 为正三角形 ,AC=AD. CG=GD. G 在 CD 的垂直平分线上 , 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 , 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H,连结 AH,则 AH DE ,所以 AHD 为二面角 ADEC 的平面角新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ 即GAH . 设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的  AEF 中 ,AF= 3a ,EF=2AE=2a,即  AEF 为直角三角形 , AG EF AE AF. 32AG a 在 Rt ADE 中 , A H D E A E A D   25AH a . 25aGH, 1cos4GHAH 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:@:/ 点评：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中，一般来说，位于同一平面内的几何元素相对位置和数量关系不变：位于两个不同平面内的元素，位置和数量关系要发生变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。 考点六 球体与多面体的组合问题 例题 10．设棱锥 M— ABCD 的底面是正方形，且 MA＝ MD， MA⊥ AB，如果Δ AMD 的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径 . 分析：关键是找出球心所在的三角形，求出内切圆半径 . 解： ∵ AB⊥ AD， AB⊥ MA， ∴ AB⊥平面 MAD， 由此，面 MAD⊥面 AC. 记 E 是 AD 的中点，从而 ME⊥ AD. ∴ ME⊥平面 AC， ME⊥ EF. 设球 O 是与平面 MAD、平面 AC、平面 MBC 都相切的球 . 不妨设 O∈平面 MEF，于是 O 是Δ MEF 的内心 . 设球 O 的半径为 r，则 r＝MFEMEF S M EF △2 设 AD＝ EF＝ a,∵ SΔ AMD＝ 1. ∴ ME＝a2.MF＝ 22 )2(aa , r＝22 )2(22aaaa ≤222 2＝ 2 1。 当且仅当 a＝a2，即 a＝ 2 时，等号成立 . ∴当 AD＝ ME＝ 2 时，满足条件的球最大半径为 2 1. 点评：涉及球与棱柱、棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系。 注意多边形内切圆半径与面积和周长间的关系；多面体内切球半径与体 积和表面积间的关系。 三、方法总结与 2020 年高考预测 （一）方法总结 1．位置关系： （ 1）两条异面直线相互垂直 证明方法： ○ 1 证明两条异面直线所成角为 90186。 ； ○ 2 证明两条异面直线的方向量相互垂直。 （ 2）直线和平面相互平行 证明方法： ○ 1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； ○ 2 证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行； ○ 3 证明这条直线的方向量和这个 平面的法向量相互垂直。 （ 3）直线和平面垂直 证明方法： ○ 1 证明直线和平面内两条相交直线都垂直， ○ 2 证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直； ○ 3 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 （ 4）平面和平面相互垂直 证明方法： ○ 1 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90186。 ； ○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面； ○3证明两个 平面的法向量相互垂直。 2．求距离： 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （ 1）两条异面直线的距离 求法：利用公式||||nnABd  （其中 A、 B 分别为两条异面直线上的一点， n 为这两条异面直线的法向量） （ 2）点到平面的距离 求法： ○ 1 “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 ○ 2 等体积法。 ○ 3 向量法，利用公式||||nnABd  （其中 A 为已知点， B 为这个平面内的任意一点， n 这个平面的法向量） 3．求角 （ 1）两条异面直线所成的角 求法： ○ 1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得； ○ 2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是 ]2,0(  ，向量所成的角范围是 ],0[  ，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。 （ 2）直线和平面所成的角 求法： ○ 1 “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 ○ 2 向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为 2或2。 （ 3）平面与平面所成的角 求法： ○ 1 “一 找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。 ○ 2 通过射影面积来求原射影Scos S （在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cosα，注意到我们要求的角为α或π－α）； ○ 3 向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。 我们 现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角。