20xx届高三文科数学第一轮复习：怎么样证明数列是等差比数列

20xx届高三文科数学第一轮复习：怎么样证明数列是等差比数列内容摘要：

a 的公差为 d ， dnnnaSn )1(211 ，  dnanSb nn )1(211   2)1(2121 111 ddnandabb nn  （常数） 数列 nb 是等差数列 . 方法 2：  dnanSb nn )1(211 ，  ndabn 2111  ， dnab n )1(2112   11112 22)1(21)1(21   nnn bndadnadnabb ， 数列 nb 是等差数列 . 变式训练 （高考题改编）正数数列 {}na 和 {}nb 满足：对任意自然数 1n n nn a b a ， ， ， 成等差数列， 11n n nb a b， ， 成等比数列．证明：数列 {}nb 为等差数列． 证明：依题意， 10 0 2n n n n na b b a a    ， ， ，且 11n n na b b ， 1 ( 2)n n na b b n ≥． 112 n n n n nb b b b b  ． 乐从中学 2020 届高三文科数学第一轮复习小专题导学案 主编 何健文 15 由此可得 112 n n nb b b．即 11 ( 2 )n n n nb b b b n ≥． 数列 {}nb 为等差数列． 评析：本题依据条件得到 na 与 nb 的递推关系，通过消元代换构造了关于 {}nb 的等差数列，使问题得以解决． 三、总结提炼 判断或证明数列是等差数列的方法有： ⑴定义法： daa nn 1 （ Nn ， d 是常数）  na 是等差数列； ⑵中项法： 212   nnn aaa ( Nn ) na 是等差数列； ⑶通项公式法： bknan  （ bk, 是常数）  na 是等差数列； ⑷前 n 项和公式法： BnAnSn  2 （ BA, 是常数， 0A ）  na 是等差数列 . 判断或证明数列是等 比 数列的方法有： ⑴定义法： —————————————————————————— ； ⑵中项法： —————————————————————————— ； ⑶通项公式法： —————————————————————————— ； ⑷前 n 项和公式法： —————————————————————————— ； 熟记一些常规结论，有助于解题 若数列 {}na 是公比为 q 的等比数列，则 （ 1）数列 {}na {}na （  为不等于零的常数）仍是公比为 q 的等比数列； （ 2）若 {}nb 是公比为 q 的等比数列，则数列 {}nnab 是公比为 qq 的等比数列； （ 3）数列 1na是公比为 1q的等比数列； 乐从中学 2020 届高三文科数学第一轮复习小专题导学案 主编 何健文 16 （ 4）若 ()m n p m n p  N， ， ， ，成等差数列时， m n pa a a， ， 成等比数列； （ 5） 2 3 2n n n n nS S S S S， ， 均不为零时，则 2 3 2n n n n nS S S S S， ， 成等比数列； （ 2） ()m n p m n p  N， ， ， ，成等差 数列时， m n pa a a， ， 成等差数列． 五、课外训练 已知 a1=2，点 (an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上。 证明数列｛ lg(1+an)｝是等比数列； 【答案】 ∴ an+11,两边取对数得 :lg(an+1+1)=2lg(an+1) 即 :lg(an+1+1) lg(an+1) =2 ∴ 数列 {lg(1 )}na 是公比为 2 的等比数列 . 已知 Sn 是等比数列｛ an｝的前 n 项和， S3， S9， S6 成等差数列，求证 a2， a8， a5 成等差数列 . 分析：由题意可得 S3＋ S6＝ 2S9，要证 a2， a8， a5 成等差数列，只要证 a2＋ a5＝ 2a8 即可 . 证明：∵ S3， S9， S6 成等差数列，∴ S3＋ S6＝ 2S9 若 q＝ 1，则 S3＝ 3a1， S6＝ 6a1， S9＝ 9a1，由等比数列中， a1≠ 0 得 S3＋ S6≠ 2S9，与题设矛盾，∴ q≠ 1， ∴ S3＝ a1（ 1－ q3）1－ q ， S6＝a1（ 1－ q6）1－ q ， S9＝a1（ 1－ q9）1－ q 且 a1（ 1－ q3）1－ q ＋a1（ 1－ q6）1－ q ＝2a1（ 1－ q9）1－ q 整理得 q3＋ q6＝ 2q9，由 q≠ 0 得 1＋ q3＝ 2q6 又 ∵ a2＋ a5＝ a1q＋ a1q4＝ a1q(1＋ q3)， ∴ a2＋ a5＝ a1q2 q6＝ 2a1q7＝ 2a8 ∴ a2， a8， a5 成等差数列 . 评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件 . 数列 na 中， 2,8 41  aa 且满足 nnn aaa   12 2 *Nn ⑴求数列 na 的通项公式； ⑵设 nb =)12( 1 nan  )(),( *21* NnbbbTNn nn  ，是否存在最大的整数 m ，使得对任意 *Nn ，均有 nT 32m 成立。 若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由。 解 ：（ 1）由题意， nnnn aaaa   112 ， }{na 为等差数列，设公差为 d ， 乐从中学 2020 届高三文科数学第一轮复习小专题导学案 主编 何健文 17 由题意得 2382  dd ， nna n 210)1(28  . （ 2） )111(21)1(2 1)12( 1  nnnnanb nn  nT )]111()111()4131()3121()211[(21  nnnn.)1(2  nn 若32mTn 对任意 *Nn 成立，即161 mnn 对任意 *Nn 成立， )(1 *Nnn n  的最小值是 21 ， ,2116m m 的最大整数 值是 7。 即存在最大整数 ,7m 使对任意 *Nn ，均有 .32mTn  说明： 本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。 课题： 怎么样证明数列是等差（比）数列 （ 2） 一、课前训练 已知数列 {an}的前 n项和 Sn=3an2,那么下面结论正确的是（ ） A． 此数列为等差数列 B． 此数列为等比数列 C． 此数列从第二项起是等比数列 D． 此 数列从第二项起是等差数列 已知数列｛ an｝的前 n 项和为 Sn=3n1,求证：数列｛ an｝是等比数列． 二、问题探究 探究问题、 已知数列前 n 项和 ns nn 22  ，求通项公式 na 并说明这个数列是否为等差数列。 解： 1n 时， 32111  sa ； 2n 时，    221 2 1 2 1n n na S S n n n n        12  n 因为 1n 时， 31121 a。 所以 12  nan 因为 2n 时， 21  nn aa 为常数，所以 na 为等差数列。 变式训练 设数列 na 的前 n 项的和   NnnnS n ,422 ， ⑴写出这个数列的前三项 321 , aaa ； ⑵证明：数列 na 除去首项后所成的数列 432 , aaa 是等差数列。 乐从中学 2020 届高三文科数学第一轮复习小专题导学案 主编 何健文 18 解：⑴由 ns 与 na 的关系   。