20xx全国名校数学试题分类解析汇编1月第二期：g单元立体几何

20xx全国名校数学试题分类解析汇编1月第二期：g单元立体几何内容摘要：

届四川省石室中学高三一诊模拟（ 202012） word 版】 6． 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（ ） A． 2 B． 3 2 26 2 22 2 2 22 俯视图侧视图正视图21 113 【知识点】三视图 G2 【答案 】【 解析】 D 解析 ： 由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形，因为底面正方形的边长为 2 ，四个侧棱长依次为13 4 3 , 9 2 11 , 13 , 11   ，所以其侧面积为 2 3 2 2 1 1 2 3 2 2 222        ，所以选 D. 【思路点拨】由三视图求面积或体积，关键是由三视图正确判断原几何体特征 . 【【名校精品解析系列】数学文卷 2020 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（ 202001）】 5．如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为 1，则该几何体的体积为 ( ) A． 61 B． 31 C． 21 D． 1 【知识点】 由三视图求面积、体积． G2 【答案 】【 解析】 B 解析 ： 由三视图知，此几何体是一个有一个侧枝垂直于底面且底面是边长为 1 的正方形，其高也为 1， 故该几何体的体积为 2111133创 =， 故选 B 【思路点拨】 由三视图还原出实物图的结构特征及数据，由三视图可以看出此物体是一个四棱锥，根据相关的体积公式求出其体积． 【【名校精品解析系列】数学文卷 2020 届重庆一中高三 12 月月考（ 202012） word 版】 三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 的值是 _____ 【知识点】三视图 G2 【答案 】【 解析】 3 解析 ： 由三视图可得出该几何体为四棱锥，体积为 V= =3，解得 x=3，故答案为 3. 【思路点拨】关键在于看出该几何体为四棱锥，再利用体积计算公式得到关于 x 的方程，即可解答 . 【【名校精品解析系列】数学文卷 2020 届湖北省部分高中高三元月调考（ 202001）】 5． 已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2 的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为（ ） A． 6 2 3 B． 6 4 3 C． 12 4 3 D． 8 4 2 【知识点】 空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案】 A 【解析】 由三视图得，该几何体为底面和两个侧面为直角边边长为 2 的等腰直角三角形， 另外一个侧面是一个边长为 2 2 的等边三角形， 故该棱锥的表面积为 S=31222+ 34(2 2 )2 =6 2 3 . 【思路点拨】 先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用三棱锥的表面积公式求出该几何体的表面积． 【【名校精品解析系列】数学文卷 2020 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（ 202001）word 版】 11． 若某棱锥的三视图 (单位： cm)如图所示，则该棱锥的体积等于 ▲ 3cm。 【知识点】三视图 G2 【答案】 20【解析】解析： 由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图： 棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 4， ∴几何体的体 积  31 1 13 4 5 3 4 5 2 02 3 2V c m          ．故答案为 20. 【思路点拨】 由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为 5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为 4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案． 正视图 左视 图 俯视图 5 3 4 3 （第 11 题图） G3 平面的基本性质、空间两条直线 G4 空间中的平行关系 【数学（理）卷 2020 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（ 202012） word 版】 17． （本小题满分 12分） 如图， ABC 为正三角形， EC 平 面 ABC ， //DB EC ， F 为 EA 的中点， 2EC AC， 1BD ． （Ⅰ）求证： DF // 平面 ABC ； （Ⅱ）求平面 DEA 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值． DBCAFE 【知识点 】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ） 22 （Ⅰ）证明：作 AC 的中点 O ，连结 BO ． 在 AEC 中， //FO 12EC，又据题意知， //BD 12EC． ∴ //FO BD ，∴四边形 FOBD 为平行四边形． ∴ //DF OB ，又 DF 平面 ABC ， OB 平面 ABC ． ∴ //DF 平面 ABC ．…………………………………… 4 分 （Ⅱ）∵ //FO EC ，∴ FO 平面 ABC ． 在正 ABC 中， BO AC ，∴ ,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以 ,OA OB OF 为 , ,zxy 轴，建系如图． 则 (1,0,0)A ， ( 1,0,2)E ， (0, 3,1)D ． ∴ ( 2,0, 2)AE ， ( 1, 3,1)AD ． 设平面 ADE 的一个法向量为 1 ( , ,z) xyn ， 则 1100 AEADnn，即 2 2 030     xzx y z，令 1x ，则 1, 0zy． ∴平面 ADE 的一个法向量为 1 (1,0,1)n ． 又平面 ABC 的一个法向量为 2 (0,0,1)n ． ∴ 1212 12 12, 22   c o s nnnn nn． ∴平面 DEA 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 22 ．………………………… 8 分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很容易找出 //DF OB ； （Ⅱ）分别求平面 DEA 与平面 ABC 的法向量 1 (1,0,1)n 2 (0,0,1)n ， ∴ 1212 12 12, 22   c o s nnnn nn，即可求出余弦值． 【数学（理）卷 2020 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（ 202012） word 版】 8． 已知 m ， n 是两条不同直线，  ，  是两个不同的平面，且 //m  ， n  ，则下列叙述正确的是 （ A）若 //，则 //mn （ B）若 //mn，则 // （ C）若 n  ，则 m  （ D）若 m  ，则  【知识点】线线关系，线面关系 G4 G5 【答案】【解析】 D 解析： A 中 m， n 可能异面； B 中  ，  可能相交； C 中可能 m  或 //m  ， 故选 D. 【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断， 逐一排除即可 . 【数学理卷 2020 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（ 202001）】 9．如图，用一边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为 4 的鸡蛋（视为球体）放入其中， 蛋巢形状保持不变 , 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为 ( ) A． 2122 B． 6122 C． 32 D． 3122 【知识点】 空间几何体的结构 G4 【答案】 D 【解析】 蛋巢 的底面是边长为 1 的正方形，所以过四个顶点截 鸡蛋 所 得的截面圆直径为 1. 鸡蛋的表面积为 4 ， 所以球的半径为 1，所以球心到截面的距离为 13142d   . 而截面到底面的距离即为三角形的高 12 ， 所以球心到底面的距离为 3122 . 【思路点拨】先求出 球心到截面的距离为 13142d   ， 再求 球心到底面的距离为 3122。 【数学理卷 2020 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（ 202001）】 9．如图，用一边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为 4 的鸡蛋（视为球体）放入其中， 蛋巢形状保持不变 , 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为 ( ) A． 2122 B． 6122 C． 32 D． 3122 【知识点】 空间几何体的结构 G4 【答案】 D 【解析】 蛋巢 的底面是边长为 1 的正方形，所以过四个顶点截 鸡蛋 所得的截面 圆直径为 1. 鸡蛋的表面积为 4 ， 所以球的半径为 1，所以球心到截面的距离为 13142d   . 而截面到底面的距离即为三角形的高 12， 所以球心到底面的距离为 3122 . 【思路点拨】先求出 球心到截面的距离为 13142d   ， 再求 球心到底面的距离为 3122。 【数学文卷 2020 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（ 202012）】 18． （本题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为菱形， 60BAD，Q为 AD的中点。 （ 1）若 PA PD，求证：平面PQB平面 PAD； （ 2）点 M在线段 PC上， PM tPC，试确定 t的值，使 //PA平面MQB； 【知识点】平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的性质及直线与直线平行的性质 G4 G5 【答案】（ 1）证明详见解析。 （ 2） . 【解析】解析： (1)连 BD 四边形 ABCD 菱形 , ,AD AB 060BAD， ABD 正三角形 , Q 为 AD 中点 , AD BQ ,PA PD Q 的中点 , AD PQ 又 BQ PQ Q AD   平面 ,?PQBAD 平面 PAD ∴平面 PQB 平面。 PAD (2)当 时 , 平面 下面证明 ,若 平面 ,连 交 于 由 可得 , , 平面 , 平面 ,平面 平面 , 即 :。 【思路点拨】（ 1）由已知条件可证 ,A D B Q A D P Q， 根据平面与平面垂直的判定定理即可求证平面PQB 平面。 PAD （ 2）连 AC 结交 BQ 于 N ，由 ,AQ BC 可证 ANQ BNC∽ ,即得 ,由直线与平面平行 的性质，可证 PA MN ,即得 ，所以1PC,3PM即13t. 【【名校精品解析系列】数学（文）卷 2020 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（ 202001）】19．（本小题满分 12 分） 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧棱 PA ⊥ 底面 ABCD , 1PA AD,EF、 分别为 PD AC、 上的动点，且 , ( 0 1 )D E A FD P A C    ． （ Ⅰ ） 若 1=2 ，求证： EF ∥ PAB平 面 （ Ⅱ ） 求三棱锥 E FCD 体积最大值． 【知识点】线面平行的判定定理；三棱锥的体积 .G4 G7 【答案】【解析】 （ Ⅰ ） 见解析； （ Ⅱ ） 124 解析 ： （ Ⅰ ）分别取 PA 和 AB 中点 M 、 N ，连接 MN 、 ME 、 NF ， HNMFEDCBPA 则 =NF∥ 12AD , =ME∥ 12AD ,所以 =NF∥ ME ,  四边形 MEFN 为平行四边形．  EF MN∥ ,又,EF PAB 平 面 ,MN PAB 平 面  EF ∥ PAB平 面 ． …… 4 分 （ Ⅱ ）在平面 PAD 内作 EH AD H 于 , 因为侧棱 PA ⊥ 底面 ABCD , 所以平面 PAD⊥ 底面 ABCD ,且平面 PAD  底面 ABCD =AD , 所以 EH ADC平 面 ,所以 EH PA∥ ． ………… 7 分 （或平面 PAD 中， ,P A A D E H A D所以 EH PA∥ 亦 可 ） 因为 , (0 1)DEDP   ,所以 ,EHPA  EH PA． 1D F CA D CS CFS CA   , 1(1 ) 2D F C A D CSS    ,………。