新课标高中数学必修教案--正弦定理基本不等式解三角形应用举例

新课标高中数学必修教案--正弦定理基本不等式解三角形应用举例内容摘要：

（ 3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （ 4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅴ .课后作业 课本第 22 页第 3 题 ●板书设计 ●授后记 第 13 页 共 58 页 课题 : 167。 解三角形 应用举例 第二课时 授课类型： 新授课 ●教学目标 知识与技能： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题 过程与方法： 本节课是解三角形应用举例的延伸。 采用启发与尝试的方法，让学 生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。 通过 3 道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。 教学形式要坚持引导 ——讨论 ——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。 作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间 情感态度与价值观： 进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 ●教学重点 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 ●教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 ●教学过程 Ⅰ .课题导入 提问：现实 生活中 ,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢。 又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢。 今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ .讲授新课 [范例讲解 ] 例 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物， A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法。 分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在  ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点观察 A 的仰角，就可以计算出 AE 的长。 解：选择一条水平基线 HG，使 H、 G、 B 三点在同一条直线上。 由在 H、 G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是  、  ， CD = a，测角仪器的高是 h，那么，在  ACD 中，根据正弦定理 第 14 页 共 58 页 可得 AC = )sin(sina AB = AE + h = AC sin + h = )sin( sinsin  a + h 例 如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角  =54 04 ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角  =501。 已知铁塔 BC 部分的高为 m,求出山高 CD(精确到 1 m) 师 :根据已知条件 ,大家能设计出解题方案吗。 （给时间给学生讨论思考）若在  ABD 中求 CD，则关键需要求出哪条边呢。 生：需求出 BD 边。 师：那如何求 BD 边呢。 生：可首先求出 AB 边，再根据  BAD= 求得。 解 :在  ABC 中 ,  BCA=90 + , ABC =90  , BAC=  , BAD = .根据正弦定理 , )sin( BC = )90sin( AB 所以 AB =)sin( )90sin(   BC=)sin(cos BC 解 Rt ABD 中 ,得 BD =ABsin BAD=)sin( sincos  BC 将测量数据代入上式 ,得 BD = )1500454sin(     第 15 页 共 58 页 =934sin    ≈ 177 (m) CD =BD BC≈ =150(m) 答 :山的高度约为 150 米 . 师：有没有别的解法呢。 生：若在  ACD 中求 CD，可先求出 AC。 师：分析得很好，请大家接着思考如何求出 AC。 生：同理，在  ABC 中，根据正弦定理求得。 （解题过程略） 例 如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 ,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D在东偏南 15 的方向上 ,行驶 5km后到达 B处 ,测得此山顶在东偏南 25 的方向上 ,仰角为 8 ,求此山的高度 CD. 师：欲求出 CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢。 生：在  BCD 中 师：在  BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件 ,易计算出哪条边的长。 生： BC 边 解 :在  ABC 中 ,  A=15 , C= 25 15 =10 ,根据正弦定理 , ABCsin = CABsin , BC =CAABsinsin=10sin15sin5 ≈ (km) CD=BC tan DBC≈ BC tan8 ≈ 1047(m) 答 :山的高度约为 1047 米 Ⅲ .课堂练习 课本第 17 页练习第 3 题 Ⅳ .课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图 ,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。 Ⅴ .课后作业 第 16 页 共 58 页 课本第 23 页练习第 8 题 为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 ，测得塔基 B 的俯角为 45 ，则塔 AB 的高度为多少 m。 答案： 20+3320(m) ●板书设计 ●授后记 课题 : 167。 解三角形 应用举例 第三课时 授课类型： 新授课 ●教学目标 知识与技能： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法： 本节课是在学习了相关内 容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。 除了安排课本上的例 1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的 2 道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。 课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。 情感态度与价值观： 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。 ●教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 ●教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 ●教学过程 Ⅰ .课题导入 [创设情境 ] 提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。 然而在实际的航海生活中 ,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢。 今天我们接着探讨这方面的测量问题。 Ⅱ .讲授新课 [范例讲解 ] 例 如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发 ,沿北偏东 32 的方向航行 n mile 后达到海岛 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行 ,需要航行多少距离 ?(角度精确到  ,距离精确到 mile) 第 17 页 共 58 页 学生看图思考并讲述解题思路 教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角  ABC，即可用余弦定理算出 AC 边，再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角  CAB。 解：在  ABC 中，  ABC=180 75 + 32 =137 ，根据余弦定理， AC= A B CBCABBCAB  c o s222 =  137c o 22 ≈ 根据正弦定理 , CABBCsin = ABCACsin sin CAB = ACABCBC sin =  ≈ , 所以  CAB = , 75  CAB = 答 :此船应该沿北偏东  的方向航行 ,需要航行 mile 例 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为  ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2 ，再继续前进 10 3 m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4 ，求  的大小和建筑物 AE 的高。 师：请大家根据题意画出方位图。 第 18 页 共 58 页 生：上台板演方位图（上图） 教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。 解法一：（用正弦定理求解）由已知 可得在  ACD 中， AC=BC=30， AD=DC=10 3 ，  ADC =180 4 ， 2sin310=)4180sin( 30 。 因为 sin4 =2sin2 cos2  cos2 = 23 ,得 2 =30   =15 ， 在 Rt ADE 中， AE=ADsin60 =15 答：所求角  为 15 ，建筑物高度为 15m 解法二：（设方程来求解）设 DE= x， AE=h 在 Rt ACE 中 ,(10 3 + x)2 + h2 =302 在 Rt ADE 中 ,x2 +h2 =(10 3 )2 两式相减，得 x=5 3 ,h=15 在 Rt ACE 中 ,tan2 =xh310=33 2 =30 , =15 答：所求角  为 15 ，建筑物高度为 15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由题意，得  BAC= ，  CAD=2 ， AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt ACE 中， sin2 =30x ① 在 Rt ADE 中， sin4 =3104, ② 第 19 页 共 58 页 ②  ① 得 cos2 =23,2 =30 , =15 ， AE=ADsin60 =15 答 ：所求角  为 15 ，建筑物高度为 15m 例 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75 的方向以 10 海里 /小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里 /小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追。 需要多少时间才追赶上该走私船。 师：你能根据题意画出方 位图。 教师启发学生做图建立数学模型 分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。 解：如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10x, AB=14x,AC=9,  ACB= 75 + 45 = 120 (14x) 2 = 92 + (10x) 2 2 9 10xcos 120 化简得 32x2 30x27=0，即 x=23 ,或 x=169 (舍去 ) 所以 BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因为 sin BAC =ABBC 120sin=2115  23=1435  BAC =38 31 ,或  BAC =141 74 （钝角不合题意，舍去）， 38 31 + 45 =83 31 答：巡逻艇应该沿北偏东 83 31 方向去追，经过 小时才追赶上该走私船 . 评注： 在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个 解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅲ .课堂练习 课本第 18 页练习 Ⅳ .课时小结 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（ 1） 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。 （ 2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 Ⅴ .课后作业 课本第 23 页练习第 11 题 第 20 页 共 58 页。