免费下载-20xx年高考真题文科数学解析分类汇编10：立体几何

免费下载-20xx年高考真题文科数学解析分类汇编10：立体几何内容摘要：

19】 （本小题满分 12 分） 如图，长方体 1111 DCBAABCD  中，底面 1111 DCBA 是正方形， O 是 BD 的中点， E是棱 1AA 上任意一点。 （Ⅰ）证明： BD 1EC ； （Ⅱ） 如果 AB =2， AE = 2 ， 1ECOE ,，求 1AA 的长。 【解析】（ I）连接 AC ， 11/ / , , ,A E CC E A C C 共面 长方体 1111 DCBAABCD  中，底面 1111 DCBA 是正方形 ,AC BD EA BD AC EA A BD    面 1EACC 1BD EC （Ⅱ） 在矩形 11ACCA 中 ， 1 1 1O E E C O A E E A C    得： 1 1 111 22 322 2 2A C A AAE AAA O E A      28.【 2020 高考四川文 19】 (本小题满分 12 分 ) 如图， 在三棱锥 P ABC 中， 90APB， 60PAB， AB BC CA，点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上。 A BCP （ Ⅰ ）求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小 ； （ Ⅱ ）求二面角 B AP C的大小。 命题立意：本题主要考查 本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力 . [解析 ]（ 1）连接 OC. 由已知， A B CPCO C P 与平面为直线 所成的角 设 AB 的中点为 D，连接 PD、 CD. 因为 AB=BC=CA,所以 CD  AB. 因为 为，所以， P A DP A BA P B  6090 等边三角形， 不妨设 PA=2，则 OD=1， OP= 3 , AB=4. 所以 CD=2 3 ， OC= 1312122  CDOD . 在 Rt 中，OCP tan1339133  OCOPO P C.…………………………6 分 （ 2）过 D 作 DE AP 于 E，连接 CE. 由已知可得， CD 平面 PAB. 据三垂线定理可知， CE⊥ PA， 所以， 的平面角——为二面角 CAPBC E D . 由（ 1）知， DE= 3 在 Rt△ CDE 中， tan 2332  DECDCE D 故 2a r c t a n的大小为——二面角 CAPB …………………………………12 分 [点评 ]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解 .求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引 出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值） . 29.【 2020 高考重庆文 20】 （本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 8 分）已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 4AB ， 3AC BC， D 为 AB 的中点。 （Ⅰ）求异面直线 1CC和 AB 的距离；（Ⅱ）若 11AB AC ，求二面角 11A CD B的平面角的余弦值。 【答案】 （Ⅰ）（Ⅱ） 13 【解析】 （Ⅰ）如答（ 20）图 1，因 AC=BC， D为 AB 的中点，故 CD  AB。 又直三棱柱中，1CC 面 ABC ，故 1 CDCC ， 所 以 异 面 直 线 1CC 和 AB 的距离为22CD = 5B C B D （Ⅱ）：由 1C D , C D ,AB BB故 CD 面 11AABB ，从而 1CD DA ， 1CD DB故 11ADB 为所求的二面角 11A CD B的平面角。 因 1AD 是 1AC 在面 11AABB 上的射影，又已知 11C,AB A 由三垂线定理的逆定理得11D,AB A 从而 11AAB ， 1ADA 都与 1BAB 互余， 因此 1 1 1A AB A DA   ，所以1Rt AAD ≌ 11Rt BAA ，因此 1 1 11AA ABAD AA 得 21 1 1 8AA AD A B   从而 221 1 1 1= 2 3 , 2 3A D A A A D B D A D    所以在 11ADB 中，由余弦定理得 2 2 21 1 1 111 11 1c o s 23A D D B A BA D B A D D B 30.【 2020 高考天津文科 17】 （本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AD⊥ PD， BC=1， PC=2 3 ， PD=CD=2. （ I）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值； （ II）证明平面 PDC⊥平面 ABCD； （ III）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦 值。 【解析】 （ I） //AD BC PAD 是 PA 与 BC 所成角 在 ADP 中， , 1 , 2AD PD AD BC PD    ta n 2PDPADAD   异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2 （ II） ,AD PD AD D C PD D C D AD    面 PDC AD 面 ABCD 平面 PDC 平面 ABCD （ III）过点 P 作 PE CD 于点 E ，连接 BE 平面 PDC 平面 ABC D PE面 ABCD PBE 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角 2 , 2 3 12 0 3 , 1CD P D P C P D C P E D E         在 Rt BCE 中， 2 2 2 210 13B E B C CE P B B E P E       在 Rt BPE 中， 39s in13PEPBE PB   得：直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 3913 31.【 2020 高考新课标文 19】 （本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC－ A1 B1C1 中，侧棱垂直底面， ∠ ACB=90176。 ， AC=BC=12AA1， D 是 棱 AA1的中点 (Ｉ )证明：平面 BDC1⊥平面 BDC （ Ⅱ ） 平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 . B1 C B A D C1 A1 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题 . 【解析】 （Ⅰ）由题设知 BC⊥ 1CC ,BC⊥ AC， 1CC AC C,∴ BC 面 11ACCA , 又∵ 1DC  面 11ACCA ， ∴ 1DC BC , 由题设知 011 45A D C A D C   ,∴ 1CDC = 090 ,即 1DC DC , 又 ∵ DC BC C, ∴ 1DC ⊥ 面 BDC , ∵ 1DC  面 1BDC ， ∴ 面 BDC ⊥ 面 1BDC ； （ Ⅱ ）设棱锥 1B DACC 的体积为 1V ， AC =1，由题意得， 1V = 1121132  =12， 由三棱柱 1 1 1ABC A B C 的体积 V =1， ∴ 11( ):V V V =1:1， ∴ 平面 1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 32.【 2020 高考湖南文 19】 （本小题满分 12 分） 如图 6，在四棱锥 PABCD 中， PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形， AD∥ BC，AC⊥ BD. （Ⅰ）证明： BD⊥ PC； （Ⅱ）若 AD=4， BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30176。 ，求四棱锥 PABCD 的体积 . [中国 ^教 *~ 育出 版 % 【答案】 【解析】（Ⅰ）因为 , , .P A A B CD B D A B CD P A B D  平 面 平 面 所 以 又 ,AC BD PA AC 是平面 PAC 内的两条相较直线，所以 BD  平面 PAC， 而 PC 平面 PAC，所以 BD PC . （Ⅱ）设 AC 和 BD 相交于点 O，连接 PO，由（Ⅰ）知， BD  平面 PAC， 所以 DPO 是 直线 PD 和平面 PAC 所成的角，从而 DPO 30 . 由 BD  平面 PAC， PO 平面 PAC，知 BD PO . 在 Rt POD 中，由 DPO 30 ，得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形， AC BD ，所以 ,AOD BOC均为等腰直角三角形， 从而梯形 ABCD 的高为 1 1 1 ( 4 2 ) 3 ,2 2 2A D B C    于是梯形 ABCD 面积 1 ( 4 2 ) 3 9 .2S      在等腰三角形ＡＯＤ中， 2 , 2 2 ,2O D A D 所以 222 4 2 , 4 .P D O D P A P D A D     故四棱锥 P ABCD 的体积为 11 9 4 1 233V S P A      . 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算 .第一问只要证明 BD  平面 PAC 即可，第二问由（Ⅰ）知， BD  平面 PAC，所以 DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由 13V S PA  算得体积 . 33.【 202。