55圆锥曲线中一类斜率定值与直线过定点的关系

55圆锥曲线中一类斜率定值与直线过定点的关系内容摘要：

317) ∠ AQB=900。 ②当 直 线 l的斜率存在 时 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l:y1=k(x2 )+m,其中 ,m=322k34 1=mxky )2()1( 。 又42x+22y=1 (x 2 )2+2(y1)2+22 (x 2 )+4(y1)=0 (x2 )2+2(y1)2+[22 (x 2 )+4(y1)] mxky )2()1(  =0 2(m+2)( 21xy )2 2(2k 2 )21xy+(m2 2 k)=0 kQAkQB=2111xy2122xy=)2(2 22m km=1 ∠ AQB=900。 (法二 )设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l:m(x 2 )+n(y1)=1,其中 ,2 2 m+4n=3。 由 x2+2y2=4 (x 2 )2+2(y1)2+22 (x 2 )+4(y1)=0 (x 2 )2+2(y1)2+2 2 (x2 )[m(x2 )+n(y1)]+4(y1)[m(x 2 )+n(y1)]=0 2(2n+1)( 21xy )2 +2(2m+ 2 n)21xy+(2 2 m+1)=0 kQAkQB=2111xy2122xy=)12(2 122 nm=1 ∠ AQB=900。 (Ⅱ )设∠ QPA=α ,则 S=S△ APQ+S△ BPQ=21|PQ||PA|sinα +21|PQ||PB|sin(1800α )=21|PQ||AB|sinα  当且仅当 AB⊥ PQ时 ,S最大。 此时 ,由 |PQ|=362,kPQ= 2  直线 AB:y+31=21(x32),即 y=22x,代入 椭圆 C得 A( 2 ,1),B(2 ,1) |AB| =2 3  Smax=21  362 2 3 =2 2 3. [点评 ]:对 圆锥曲线 C上一定点 M(x0,y0)和的两动点 P、 Q(异于点 M),由 动 直线 PQ所恒过的定点 N(p,q),求 kMP+kMQ或 kMPkMQ 的定值 ,是该类问 题 的 逆 向问 题。 解决该类问 题 只要对母题 “照搬硬套” 即可。 但需注意 :直线 PQ 的斜率是否存在 ,为避免分类讨论 ,利于二次齐次 方程 的转化可设直线 PQ:m(xp)+n(yq)=1. : 1.(2020年山东高考试题 )己知动圆过定点 (2p,0),且与直线 x=2p相切 ,其中 p0.(Ⅰ )求动圆圆心的轨迹 C的方程。 (Ⅱ )设 A、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点 ,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为α和β ,当α、β变化且α +β为定值θ(0θ π )时 ,证明 :直线 AB恒过定点 ,并求出该定点的坐标 . 2.(2020 年全 国高中数学联赛 河南 初赛 试题 )已知抛物线 C:y2=4x,以 M(1,2)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB.(Ⅰ )求证 :直线 AB过定点。 (Ⅱ )过点 M 作 AB的垂线交 AB于点 N,求点 N 的轨迹方程 . 3.(2020年山东高考试题 )己知椭圆 C 的 中心在 原点 ,焦点在 x轴上 ,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1. (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程。 (Ⅱ )若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点 (A、 B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . 4.(1999 年全 国高中数学联赛试题 )已知点 A(1,2),过点 (5,2)的直线与抛物线 y2=4x 交于另外两点 B,C,那么 ,△ ABC 是( ) (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三。