高等工程数学习题三参考答案

高等工程数学习题三参考答案内容摘要：

于 2 求导，令 2 22 2 4 1l n ( ) 1 ( ) 022niid L n xd          解得 2 的极大似然估计量为 2211 ()n ii Xn。 总体密度为 22()2 21(。 )2xp x e  ，取对数 得 22221 ( )l n (。 ) l n ( 2 ) l n22 xpx       ， 13 关于 2 求导和二阶导数，得 222 2 2 2l n (。 ) 1 ( )2 2 ( )p x x    ， 2 2 22 2 2 2 2 3l n (。 ) 1 ( )( ) 2 ( ) ( )p x x  ， 于是得信息量 2 2 222 2 2 2 2 3 2 2l n (。 ) 1 ( ) 1() ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )p X E XIE          ， 所以 2 的无偏估计量 211 ()n ii Xn  的方差下界为 2221 2( )()nI n ， 又 2 21 ~ ( )n iiX n  ， 由 2 分布性质 ()， 212n iiXDn ， 22 2 2 222111 ( ) 2 ( )()nn iiiiXD X Dn n n         所以， 2 的无偏估计量 211 ()n ii Xn  是 UMVUE； 因为 22222 2 22112 2 2 221 ( )l im ( ) l im ( )( ) 2 ( )l im 2 l im 0nniinniinnXE X E nnnnnn                      其 中利用了 2 性质。 由定理 可得， 211 ()n ii Xn  是 2 的相合估计量。 30. 解： 设总体 ~[0, ]X  ，其概率密度函数和概率分布函数分别为 1 , 0 ,(。 )0,xfx     其 他 .，0 , 0 ,(。 ) , 0 ,1,xxF x xx   . ()1m ax ininT X X的 分布函数为 14 1211(。 ) { } { , , , }{ } { } (。 )0 , 0 , 0 ,1,TnnnniiinnF t P T t P X t X t X tP X t P X t F ttttt           . 所以， T 的概率 密度 函数 为 1 , 0 ,(。 ) 39。 ( )0,nnTTnt tf t F t     其 他 . 110 0( ) (。 ) 11nnnt n t nE T tf t dt t dtnn    ， 1 2 22 2 20 0( ) (。 ) 22nnnt n t nE T t f t dt t dtnn    ， 所以 222 2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) 22 1 ( 1 ) ( 2 )nnE T E T E T n n n n                ， 故 22 2l im ( ) l im 0( 1 ) ( 2 )nnET nn     ，由定理 可得， T 是  的相合估计量。 31. 解： 设 12, , , nX X X 为来自伽马分布总体 X 的一组样本， 总体密度为 1 , 0 ,(。 ) ()0 , 0 .xe x xpxx    ， 1 10 ( 1 )( ) (。 ) ( ) ( )xE X x p x d x x e x d x                 ， 2 2 2 1 220 ( 2 ) ( 1 )( ) (。 ) ( ) ( )xE X x p x d x x e x d x                    ， 2222 2 2( 1 )( ) ( ) ( )D X E X E X          ， 1 1 11 1 1( ) ( ) ( ) . . ( ) ( )n n niii i iE X E X E X i i d E X E Xn n n       ， 15 2 2 21 1 11 1 1 ( )( ) ( ) ( ) . . ( )n n niii i i DXD X D X D X i i d D Xn n n n n       ， 所以 11( ) ( )XEg      ，即 X是 1()g的无偏估计。 当 0x 时，取对数得 l n (。 ) l n l n ( ( ) ) ( 1 ) l np x x x          ， 关于  求导和二阶导数，得 ln (。 )px x  ， 2 22ln (。 )px   ， 于是得信息量 222l n (。 )() pXIE    ， 所以 1()g  的无偏估计量 X 的方差下界为 （由定理 ）  2 422139。 ( )1()gnI nn  ， 又 2 2 2 21 1 1( ) ( )XD D X nn       ， 即  239。 ( )ˆ[ ( ) ] ( )()gXD g D nI   所以， 1()g  的无偏估计量 X 是 UMVUE； 32. 解： x = [, , , , , , , ,... , , , , , , , ]。 n = length(x)。 mx = mean(x)。 sd = std(x)。 sig =。 alpha =。 phai1 = [mx sig/sqrt(n)*norminv(1alpha/2), mx + sig/sqrt(n)*norminv(1alpha/2)] phai2 = [mx sd/sqrt(n1)*tinv(1alpha/2,n1), mx + sd/sqrt(n1)*tinv(1alpha/2,n1)] 33. 解： 因为 ~ ( 1)/X tnSn ，设精度为 0 ，要使得 { } { } 1 0 . 9 5//XP X P S n S n         ， 所以 16 /2 ( 1)/ tnSn  ， 即 /2 ( 1 ) / 1 . 6 9 9 2 1 . 7t n S n    。 34. 解： 因为 2 已知， ~ (0,1)/X Nn ， { } { } 1//X LP X L P nn     ， 2 1 1/L n     , 1 / 2/L un   , 所以， 21 / 2nuL  。 答案错误。 35. 解： 因为 2 已知， ~ (0,1)/X Nn ， { } { } 1//X LP X L P nn     ， 类似于 34，可得 得 221 / 2 0 .5 1 .9 6 9 6 .0 41 / 1 0nuL              ，即  36. 解： 参照 P279 表 ， （ 1） **1 / 2 1 / 2( 1 ) , ( 1 )SSX t n X t nnn    [1832sqrt(20/19)*497/sqrt(20)*tinv(,201), 1832+sqrt(20/19)*497/sqrt(20)*tinv(,201)] ans = +003 * 置信下限： 1832sqrt(20/19)*497/sqrt(20)*tinv(,201) ans = +003 （ 2） 2 的 置信度为 90%的区间 估计 [20*497^2/chi2inv(,201), 20*497^2/chi2inv(,201)] 17 ans = +005 *  的置信度为 90%的区间估计 [sqrt(20)*497/sqrt(chi2inv(,201)), sqrt(20)*497/sqrt(chi2inv(,201))] ans = 37. 解： 参照 P280 表 xa = [, , , ]。 xb = [, , , , ]。 n1 = length(xa)。 n2 = length(xb)。 ma = mean(xa)。 mb = mean(xb)。 sw = sqrt(((n11)*var(xa)+(n21)*var(xb))/(n1+n22))。 alpha =。 [(mamb)tinv(1alpha/2,n1+n22)*sw*sqrt(1/n1+1/n2), ... (mamb)+tinv(1alpha/2,n1+n22)*sw*sqrt(1/n1+1/n2)] ans = 38. 解： xa = [ ]。 xb = [ ]。 n1 = length(xa)。 n2 = length(xb)。 alpha =。 [1/finv(1alpha/2,n11,n21) *var(xa)/var(xb), 1/finv(alpha/2,n11,n21) *var(xa)/var(xb)] ans = 39. 解： 参考 例 100n ， 16 ， 1  ，  ，1 2  ， 221 / 2 1. 96 3. 84u  ， 21 / 2 n u   ， 21 / 2( 2 ) 3 5 .8 3b n x u     ， 2 nx， 得  2211( 4 ) ( 35 .8 3 35 .8 3 4 10 3. 84 2. 56 ) 0. 10 10 , 0. 24 402 2 10 3. 84b b aca                 18 1/(2*)*((^24**)) ans = 1/(2*)*(+sqrt(^24**)) ans = 注意：也可以按第 282 页的公式。 40. 解：参考 例 （ 1）（ i） 400n ， 175 400x ， 1  ， 2，1 2  ，221 / 2 1 .9 6 2 .7 0 5 5u  ， 21 / 2 40 2. 70 55a n u   ， 21 / 2( 2 ) 3 5 2 . 7 0 5 5b n x u     ， 2 625c nx ， 得  21 ( 4 ) , 2 b b aca   1/(2*a)*(bsqrt(b^24*a*c))。