双曲线高考知识点及题型总结

双曲线高考知识点及题型总结内容摘要：

6－x220＝ 1 答案 B 解析 由题意知 2a＝ 4 5， a2＝ 20， 若双曲线焦点在 x 轴上，则可设方程为 x220－y2b2＝ 1， 代入点 A(2，－ 5)，得 ： 420－ 25b2＝ 1，即 － 25b2 ＝ 1620，矛盾 ． 因此设双曲线的方程为－ x2b2＋y220＝ A(2，－ 5)，得：4b2＝－ 1＋2520＝14， ∴ b2＝ 选 B. 2． 如果双曲线 x2a2－y2b2＝ 1 的两条渐近线互相垂直 ， 则双曲线的离心率为 ( ) A. 2 B． 2 C. 3 D． 2 2 答案 A 解析 因两条渐近线互相垂直 ． 所以两渐近直线的倾斜角为 π y＝ 177。 x，∴ ba＝ 1，即 a＝ b， c＝ a2＋ b2＝ 2a， ∴ e＝ 2aa ＝ 2. 3． 双曲线与椭圆 x216＋y264＝ 1 有相同的焦点 ， 它的一条渐近线为 y＝ x， 则双曲线方程为( ) A． x2－ y2＝ 96 B． y2－ x2＝ 160 C． x2－ y2＝ 80 D． y2－ x2＝ 24 答案 D 解析 由题意知双曲线的焦点为 (0， 177。 4 3)，即 c2＝ 48，又因一条渐近线方程为 y＝ x. 所以 ab＝ a＝ b， ∴ 48＝ 2a2， a2＝ b2＝ D. 4． F F2 为双曲线 x24－ y2＝－ 1 的两个焦点 ， 点 P 在双曲线上 ， 且 ∠ F1PF2＝ 90176。 ， 则 △ F1PF2的面积是 ( ) A． 2 B． 4 C． 8 D． 16 答案 B 解析 方程变形为 y2－ x24＝ 1， 由题意  ||PF1|－ |PF2||＝ 2 ①|PF1|2＋ |PF2|2＝ (2 5)2 ② 由 ① 式两边平方得： 20－ 2|PF1||PF2|＝ 4， ∴ |PF1||PF2|＝ 8， S△ F1PF2＝ 12|PF1||PF2|＝ 12 8＝ 4. 5． 若方程 x2|k|－ 2＋y25－ k＝ 1 表示双曲线 ， 则实数 k 的取值范围是 ( ) A． k－ 2， 或 2k5 B．－ 2k5 C． k－ 2， 或 k5 D．－ 2k2， 或 k5 答案 D 双曲线之经典总结和高考考点及典型例题分析 专心做教育 11 解析 由题意知： (|k|－ 2)(5－ k)0，即 |k|－ 20，5－ k0， 或 |k|－ 20.5－ k0. 解得： k5，或－ 2k D. 6． 已知双曲线 x2a2－y2b2＝ 1(a0， b0)的两条渐近线方程为 y＝ 177。 33 x， 若顶点到渐近线的距离为 1， 则双曲线方程为 ____________． 答案 x24－34y2＝ 1 解析 双曲线顶点为 (a,0)， 渐近线为 x＋ 3y＝ 0， ∴ 1＝ a1＋ 3＝ a2， ∴ a＝ 2. 又 ba＝ 33 ， ∴ b＝ 2 33 ， ∴ 双曲线方程为 x24－34y2＝ 1. 7． 已知圆 C： x2＋ y2－ 6x－ 4y＋ 8＝ C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点 ， 则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ____________． 答案 x24－y212＝ 1 解析 由题意知双曲线仅与 x 轴有交点， ∴ x2＋ y2－ 6x－ 4y＋ 8＝ 0，y＝ 0， 即 x2－ 6x＋ 8＝ 0， ∴ x＝ 2 或 x＝ 4，即 c＝ 4， a＝ 2.∴ x24－y212＝ 1. 8． 如图 ， 已知定圆 F1： x2＋ y2＋ 10x＋ 24＝ 0， 定圆 F2： x2＋ y2－ 10x＋ 9＝ 0， 动圆 M 与定圆 F F2 都外切 ， 求动圆圆心 M 的轨迹方程 ． 解 圆 F1： (x＋ 5)2＋ y2＝ 1， ∴ 圆心 F1(－ 5,0)，半径 r1＝ 1. 圆 F2： (x－ 5)2＋ y2＝ M的半径为 R，则有 |MF1|＝ R＋ 1， |MF2|＝ R＋ 4， ∴ |MF2|－ |MF1|＝ 3. ∴ M 点的轨迹是以 F F2为焦点的双曲线 (左支 )， 且 a＝ 32， c＝ b2＝ 914 . ∴ 动圆圆心 M 的轨迹方程为 49x2－ 491y2＝ 1(x≤ － 32)． 9． 椭圆 x2m2＋ y2＝ 1(m1)与双曲线 x2n2－ y2＝ 1(n0)有公共焦点 F F2， P 是它们的一个交点 ， 求 △ F1PF2 的面积 ． 解 根据椭圆与双曲线焦点都在 x 轴上，不妨设 P 在第一象限， F1是左焦点， F2是右焦点，则由椭圆与双曲线定义有 |PF1|＋ |PF2|＝ 2m，|PF1|－ |PF2|＝ 2n， 可解得 |PF1|＝ m＋ n， |PF2|＝ m－ n， 即 |PF1|2＋ |PF2|2＝ 2(m2＋ n2)． 又 ∵ 两者有公共焦点，设半焦距为 c. 双曲线之经典总结和高考考点及典型例题分析 专心做教育 12 则 m2－ 1＝ c2， n2＋ 1＝ c2， ∴ m2＋ n2＝ 2c2. ∴ |F1F2|2＝ 4c2＝ 2(m2＋ n2)， ∴ |F1F2|2＝ |PF1|2＋ |PF2|2， ∴∠ F1PF2＝ 90176。 . 又 ∵ m2－ 1＝ n2＋ 1＝ c2， ∴ m2－ n2＝ 2. ∴ S△ F1PF2＝ 12|PF1||PF2| ＝ 18[(|PF1|＋ |PF2|)2－ (|PF1|－ |PF2|)2] ＝ 12(m2－ n2)＝ 1. 所以 △ F1PF2的面积为 1. 10． 已知双曲线 x2－ y2＝ a2 及其上一点 P， 求证 ： (1)离心率 e＝ 2， 渐近线方程 y＝ 177。 x； (2)P 到它两个焦点的距离的积等于 P 到双曲线中心距离的平方 ； (3)过 P 作两渐近线的垂线 ， 构成的矩形面积为定值 ． 证明 (1)由已知得 c＝ a2＋ a2＝ 2a， ∴ e＝ 2，渐近线方程 y＝ 177。 x. (2)设 P(x0， y0)，则 x20－ y20＝ a2， 又 F1(－ 2a,0)、 F2( 2a,0)， ∴ |PF1||PF2|＝ (x0＋ 2a)2＋ y20 (x0－ 2a)2＋ y20 ＝ 2x20＋ a2＋ 2 2ax0 2x20＋ a2－ 2 2ax0 ＝ | 2x0＋ a|| 2x0－ a| ＝ |2x20－ a2|＝ |x20＋ y20|＝ |PO|2. ∴ P 到它两个焦点的距离的积等于 P 到双曲线中心距离的平方 ． (3)设垂足分别为 Q、 R，则由点到直线距离公式知 |PQ|＝ |x0－ y0|2， |PR|＝ |x0＋ y0|2， ∴ SPQOR＝ |PQ||PR|＝ 12|x20－ y20|＝ 12a2. ∴ 该矩形的面积为定值 . 讲练学案部分 2． 双曲线及其标准方程 . 对点讲练 知识点一 双曲 线定义的应用 如图所示，在△ ABC 中，已知 |AB|=4 2 ，且三内角 A、 B、 C 满足 2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程． 解 双曲线之经典总结和高考考点及典型例题分析 专心做教育 13 如图所示，以 AB 边所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系， 则 A(  2 2 ,0)、 B(2 2 , 0 )． 由正弦定理得 sinA = 2aR， sinB =2bR， sinC =2cR. ∵ 2sinA+sinC=2sinB，∴ 2a+c=2b， 即 b a=2c. 从而有 |CA|  |CB|=21|AB|=2 2 |AB|. 由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支． ∵ a= 2 ， c=2 2 ，∴ b2= c2  a2 = 6. 所以顶点 C 的轨迹方程为 221,26xy (x 2 )． 【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉 “ 差的绝对值 ” ，即 ||PF1| |PF2||=2a，而|PF1||PF2|=2a 表示一支． P 是双曲线 x216－y220＝ 1 上一点 ， F F2 是双曲线的两个焦点 ， 且 |PF1|＝ 9，求 |PF2|的值 ． 解 在双曲线 x216－y220＝ 1 中， a＝ 4， b＝ 2 5. 故 c＝ P 是双曲线上一点， 得 ||PF1|－ |PF2||＝ 8. ∴ |PF2|＝ 1 或 |PF2|＝ 17. 又 |PF2|≥ c－ a＝ 2，得 |PF2|＝ 17. 知识点二 求双曲线的标准方程 根据下列条件 ， 求双曲线的标准方程 ． (1)过点 P 3， 154 ， Q － 163 ， 5 ， 且焦点在坐标轴上 ； (2)c＝ 6， 且过点 (－ 5,2)， 焦点在 x 轴上 ； (3)与双曲线 x216－y24＝ 1 有相同焦点 ， 且经过点 (3 2， 2)． 解 (1)设双曲线方程为 x2m＋y2n＝ 1， ∵ P、 Q 两点在双曲线上， ∴ 9m＋ 22516n＝ 12569m＋25n ＝ 1，解得 m＝－ 16n＝ 9 ， ∴ 所求双曲线方程为 y29－x216＝ 1. (2)∵ 焦点在 x 轴上， c＝ 6， ∴ 设所求双曲线方程为： x2λ－y26－ λ＝ 1(其中 0λ6)． 双曲线之经典总结和高考考点及典型例题分析 专心做教育 14 ∵ 双曲线经过点 (－ 5,2)， ∴ 25λ － 46－ λ＝ 1，解得 λ＝ 5 或 λ＝ 30(舍去 )． ∴ 所求双曲线方程是 x25－ y2＝ 1. (3)设所求双曲线方程为： x216－ λ－y24＋ λ＝ 1 (其中－ 4λ16)． ∵ 双曲线过点 (3 2， 2)， ∴ 1816－ λ－ 44＋ λ＝ 1， 解得 λ＝ 4 或 λ＝－ 14(舍去 )， ∴ 所求双曲线方程为 x212－y28＝ 1. 【反思感悟】 用待定系数法求双曲线的标准方程，首先要定型，即确定双曲线的类型，看焦点位置 (如果焦点位置不确定，要分类讨论或设一般式 Ax2＋ By2＝ 1 其中 AB0)设出标准形式，再定量．即确定方程中的参数的值 ． 已知双曲线过 P1 － 2， 32 5 和 P2 43 7， 4 两点 ， 求双曲线的标准方程 ． 解 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为 mx2＋ ny2＝ 1 (mn0)，因 PP2在双曲线上，所以有  4m＋ 454 n＝ 1169 7m＋ 16n＝ 1，解得 m＝－ 116n＝ 19. ∴ 所求双曲线方程为－ x216＋y29＝ 1， 即 y29－x216＝ 1. 知识点三 双曲线的实际应用 一炮弹在 A 处的东偏北 60176。 的某处爆 炸 ， 在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒 ， 已知 A 在 B 的正东方 、 相距 6 千米 ， P 为爆炸地点 ， (该信号的传播速度为每秒 1千米 )求 A、 P 两地的距离 ． 解 以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系， 则 A(3,0)、 B(－ 3,0) ∵ |PB|－ |PA|＝ 4 16 ∴ a＝ 2， b＝ 5， c＝ 3 ∴ P 是双曲线 x24－y25＝ 1 右支上的一点 ∵ P 在 A 的东偏北 60176。 方向， ∴ kAP＝ tan60176。 ＝ 3. ∴ 线段 AP 所在的直线方程为。