工程力学教案中

工程力学教案中内容摘要：

求 22 截面的剪力和弯矩时，取 22 截面右侧段梁为研究对象更加方便，假想用纸把截面左侧段梁遮住。 直接写出 2 2 kNQBFF   2 0 .2 2 k N 0 .2 m 0 .4 k N mBMF        课程名称 工程力学 教学单元名称 第 7 章 梁的弯曲 剪力图和弯矩图 22 【教学内容】 第 7 章 梁的弯曲 剪力 图和弯矩图 单元能力培养目标 理解 方程与弯矩方程的概念、由剪力方程和弯矩方程作剪力图与弯矩图的方法。 理解剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系。 掌握由剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系作弯矩图的方法。 知识点 技能点 剪力方程、弯矩方程的概念，剪力方程和弯矩方程及剪力图和 弯矩图都是梁强度计算和刚度计算的重要依据，是工程力学主要基础知识之一，也是学习工程力学时应该掌握的基本技能。 单元教学设计 以悬臂梁、简支梁为例，分析梁上受集中载荷、均布载荷、集中力偶拒作用时的剪力图、弯矩图的绘制方法。 由剪力方程和弯矩方程得出 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，并利用此关系掌握作弯矩图的方法。 单元教学方式 理论授课＋多媒体 作业 教材 P218 151(b)、 152(a)(f)、 155 23 剪力方程和弯矩方程 剪力方程 和 弯矩方程。 坐标 x 的原点一般取在梁的左端面处，设横截面沿梁轴线的位置用坐标 x 表示，则梁各个横截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标 x 的函数，即 ()F F x （ 71） zz()M M x （ 72） 剪力图和弯矩图 以横截面上的剪力或弯矩值为纵坐标，以横截面沿梁轴线的位置为横坐标 x 分别绘出表示Q()Fx或 z()Mx的函数图形，称为 剪力图 和 弯矩图。 正值的剪力和弯矩画在 x 轴上侧，负值的剪力和弯矩画在 x 轴下侧。 例 72 悬臂梁长 l ，在自由端受集中力 F 作用，如图 710 所示。 试绘制梁的剪力图和弯矩图。 解 （ 1）建立剪力方程和弯矩方程 以 A 为坐标原点，在距原点 x 的截面处假想截开，取左侧段为研究对象，并设截面上的剪力和弯矩为正，如图 b 示。 Q()F x F （ 1） z()M x Fx （ 0 ≤ x l ） （ 2） （ 2）绘制剪力图和弯矩图如图 d 所示。 从剪力图和弯矩图可见，在梁的各横截面上，剪力都相同；在固定端的左侧横截面上，弯矩的绝对值最大，为 z max BM M Fl。 例 73 简支梁 AB 受均布载荷 q 作用，梁长 l （ 图 711 a）。 试绘制梁的剪力图和弯矩图。 解 （ 1）画梁的受力图和求支座反力 画出梁的受力图（图 a 所示）。 求得 A、 B 两处的支座反力是梁上总载荷 ql 的一半，为 2ABqlFF 图 710 24 （ 2）建立剪力方程和弯矩方程 以 A 为坐标原点，在距原点 x 的截面处假想截开后取左侧段为研究对象， 图 711b示。 直接写出 AB 段内的剪力方程和弯矩方程分别为  Q 2A qlF x F q x q x    （ 0xl ） （ 1）   2Z 12 2 2A x q lM x F x q x x q x   （ 0≤ x≤ l ） （ 2） （ 3）画剪力图和弯矩图 式（ 1）表示的剪力 Q()Fx为 x 的一次函数，剪力图是一条斜直线，在 AB 区段内分别选 0x 和xl 两点 坐标代入剪力方程（ 1），绘出的剪力图是一条斜直线，见 图 711c 示。 式（ 2）弯矩方程z()Mx为 x 的二次函数，弯矩图是一条抛物线，在AB 区段内分别选数个特征点坐标代入弯矩方程（ 2），特征点坐标中至少应有 0x 、 xl 和/2xl 三点，得到特征值 (0) 0zM  、 ( ) 0zMl和 2( / 2) / 8zM l ql ，见 图 711d 示。 从绘制的剪力图和弯矩图可知，在两支座附近的横截面上剪力的绝对值最大，为 Q Q Q 2m a x A B qlF F F   在梁的中点截面处，剪力为零；弯矩的绝对值最大 2m ax 8z qlMM中 点 例 74 简支梁受集中力 F 作用（图 712a），图中尺寸 a、 b、 l 均已知，试画该梁的剪力图和弯矩图。 解 （ 1）画受力图和求支座反力 由梁的受力图（图 712a）建立平衡方程 坐标 x 0 4l 2l 43l l 剪力 QF 2ql 0 2ql 弯矩 ZM 0 323 2ql 82ql 323 2ql 0 图 711 25   0FMA 0BFa F l      0FM B 0AFb F l 求得支反力为 A FbF l B FaF l （ 2）建立剪力方程和弯矩方程 AC 段： 取距原点为 x 的任意截面，以截面左侧段为研究对象（受力分析图省略），其上的剪力和弯矩方程分别为  Q A FbF x F l （ 1）  ZA FbM x F x xl （ 0 ≤ x ≤ a） （ 2） CB段：取距原点为 x的任意截面，以截面左侧段为研究对象，其上的剪力和弯矩方程分别为  Q A F b F aF x F F Fll      （ 3）        zA F b F bM x F x F x a x F x a l xll        （ a ≤ x ≤ l） （ 4） 【 讨论 】 ：取梁的右端端面为坐标原点，以距该原点为 x 的任意截面右侧段为研究对象，计算更为方便简练（图 712b 所示）。 其剪 力方程和弯矩方程为 CB 段：  Q1 B FaF x F l    （ 5）   11ZB FaM x F x xl （ 0 ≤ x ≤ b） （ 6） （ 3）画剪力图和弯矩图 【分析 讨论 】 ： （ 1）式， AC 段内梁的任意横截面上的剪力  QFx为一不变的常数，各截面的剪力相同，为 QF Fb l ，剪力图是一条在 x 轴上方的水平直线。 （ 2）式，弯矩方程 ()zMx为 x 的一次函数，需在 AC 区段内选两个特征点坐标代入 26 弯矩方程（ 2），即 0x 和 xa ，求出特征值 (0) 0zM  、 ()zM a F ab l ，绘制的 AC段弯矩图是一条左低右高的斜直线。 （ 3）式， 在 BC 段内梁的任意横截面上的剪力Q()Fx为一不变的常数，各截面的剪力相同，为 QF Fa l ，剪力图是一条在 x 轴下方的水平直线。 （ 4）式，弯矩方程 z()Mx为 x 的一次函数，在 CB 区段内选两个特征点坐标代入弯矩方程（ 4），即 xa 和 xl ，得到特征值 ()zM a Fa b l 、 ( ) 0zMl ，绘出 CB 段弯矩图是一条左高右低的斜直线。 通过以上分析后，绘出的梁的剪力图和弯矩图，见图 712c 和 d 所示。 从图 712c 和 d 看出，当 a ＞ b 时， CB 段的剪力的绝对值最大，为 Qmax FaF l 在梁的集中力作用截面处，弯矩的绝对值最大，为 m a xzcF abMM l 当 2a b l 时，集中力作用在梁的中点截面处，则有 Qmax 2FF  m a x 4zcFlMM 例 75 一简支梁受集中力偶 M 作用（图 713a），图中尺寸 a 、 b 、 l 均已知，试绘制梁的剪力图和弯矩图。 解 （ 1）画受力图和求支座反力 由于梁受一个集中力偶作用下处于平衡，满足力偶的平衡条件，由此得出 A、 B 两处的支座反力必大小相等、指向相反，即 z 0M  0AM F l ABMFF l （ 2）建立剪力方程和弯矩方程 即 AB 段（ 0 xl ）的剪力方程： 图 713 27  Q A MF x F l （ 1） AC 段的弯矩方程：  z A MM x F x xl（ 0 ≤ xa ） （ 2） CB 的弯矩方程段：  z 1 1 1B MM x F x xl   （ 0 ≤ x1 b ） （ 3） （ 3）画剪力图和弯矩图 【分析】 由 （ 1）式，全梁的任意横截面上的剪力 Q()Fx为一不变的常数 ，大小为QF M l ，绘 出的剪力图是在 x 轴上方的水平直线。 （ 2）式， AC 段内弯矩方程 z()Mx为x 的一次函数，取特征坐标点 0x 和 xa 代入 弯矩方程（ 2），得到 AC 段弯矩图是一条左低右高的斜直线。 将 1 0x 和 1xb 代入 式（ 3）， CB 区段内的弯矩图是一条左高右低的斜直线。 从图713c 和 d 看出，全梁 的剪力 QF 为一不变的常数 ，为 Qmax MF l 当 a ＞ b 时，最大的弯矩发生在 C 截面的左侧附近，其绝对值为 m a xz c MaMM l左 侧 剪力 弯矩和载荷集度间的关系 梁上各截面的剪力和弯矩不同，剪力图和弯矩图的形状也不同，梁的剪力图、弯矩图与梁上载荷之间存在一定的微分关系，剪力方程的一阶导数等于载荷集度，弯矩方程的一阶导数等于剪力方程。    d dQFx qxx     d d QMx Fxx   2 2d dMx qx  上述三式的几何意义分别是： 剪力图上任一点切线的斜率等于梁上对应点处的载荷集度；弯矩图上任一点切线的斜率等于梁上对应点处横截面上的剪力；弯矩图的凹凸形状可由载荷集度 q 的正、负确定。 利用这些微分关系，可以对梁的剪力、弯矩图进行绘制和检查。 【分析归纳】 总结梁的剪力图、弯矩图与梁上载荷之间的一些规律如下： 1．若梁上某段无分布载荷作用，则剪力 Q()Fx为一不变的常数，剪力图为一水平直线。 而弯矩 z()Mx是 x 的一次函数，弯矩图为一斜直线。 当 QF ＞ 0 时，弯矩图从左到右 28 向上倾斜（斜率为正）；当QF＜ 0 时，弯矩图从 左到右向下倾斜（斜率为负）；当QF＝ 0时，弯矩图为一水平直线。 2．若梁上某段有均布载荷 q 作用，则剪力Q()Fx是 x 的一次函数，段内剪力图为一斜直线；对应的弯矩 z()Mx为 x 的二次函数，段内弯矩图为二次抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷 q 的指向一致。 若 q 的指向向下（ q ＜ 0），则该段剪力图为左高右底的斜直线，弯矩图为开口向下的抛物线；若 q 的指向向上（ q ＞ 0），则该段剪力图为左底右高的斜直线，弯矩图为开口向上的抛物线；在 QF ＝ 0 的截面上，弯矩为级值，即为抛物线的顶点。 3．在集中力作用的界点上，剪力图有突变，突变值等于该集中力；从左向右绘图时，突变方向与集中力指向一致，若从右向左绘图时，则突变方向与集中力指向相反。 而弯矩图在此界点处存在折角现象。 4．在集中力偶作用的界点，剪力图无变化。 弯矩图有突变，突变值等于该集中力偶矩；从左向右绘图时，当力偶顺时针转向，弯矩图向上突变；反之，若力偶为逆时针转向，则弯矩图向下突变。 反之，当从右向左绘图时，则突变方向与之相反。 表 71 剪力图和弯矩图的图形规律 q = 0 q ≠ 0 图形 规律 斜率规律 图形规律 斜率规律 q 指向 向下 q指向 向上 剪力图 直线 水平 斜直线 左高右低 左低右高 弯矩图 斜直线 QF＞ O 左低右高QF ＜ 0 左高右低 抛物线 开 口向下 开口向上 表 72 剪力。