20xx_挑战杯数学建模大赛_c题_特等奖_获奖论文

20xx_挑战杯数学建模大赛_c题_特等奖_获奖论文内容摘要：

知节点后，未知节点会以 1P 的概率转发此条消息，转化为传播节点，以 11P 的概率转化为只读节点。 建立模型 节点 j 在 t 时刻处于未知状态， jwwP 表示节点 j 在  ttt , 时段内处于未知状态的概率， jwcP 表示节点 j 从未知状态转移到转发状态的概率， jwPg 表示节点 j 从未知状态转移到只读状态的概率，且 jg1 wjwc PP  ，其中 h1j )tp(1（ wwP （ 1） thh 表示在 t时刻节点 j的邻接节点中转发节点数量。 节点 j含有 m 条边， h是具有如下二项式分布的随机变量： hmh tmLtmLhmth  )),(1(),(),( （ 2） ),( tmL 表示在 t时刻从具有 m 条边的未知节点连接到一个转发节点的概率， ),39。 ()|39。 ()|()|39。 (),( c39。 m39。 39。 m tmpmmpwcpmmptmL mm   (3) m mPmmP )(|39。 m ）（ )(mP  是度为 m 的节点的概率分布函数， m 为样本网络空间的节点平均度。 ）（ mP |39。 m 为度相关函数，表示度为 m 的节点 邻接 度为 39。 m 的节点 的 条件概率。 )|( 39。 mm wcp 表示一个 度为 39。 m 的节点 邻接 到一个度为 m 的未知节点的条件下，转化为转发节点的概率， ),39。 ( tmpc 表示在 t 时刻度为 39。 m 的转发节点的 概率 密度。 度为 m 的 未知 节点在  ttt , 时段内处 保持 未知状态的平均转移概率 ),(pww tm。          mhmhmh tmtLptmLtmLtphmtm ),(1,1*,1),(p 110ww    上面两式联合得到： mmc tmpmmpttm   39。 1ww ),39。 ()|39。 (p1),(p (4) 设 ),( tmN 为在 t 时刻社交网络中度为 m 的节点 密度 ， ),( tmw ， ),( tmc ， ),( tmG 分别为在 t 时刻网络中度为 m 的未知节点、转发节点和只读节点的概率密度。 ),(),(),( tmgtmctmw  分别表示相应密度的变化量。 8 ),(),(),(),( tmNtmGtmctmw  (5) ),(),(),( tmGtmctmw  网络中度为 m 的未知节点的数量在  ttt , 时 段内的变化情况如下                mmcwwmmptmptptmwtmwtmptmwtmwttw39。 1 |39。 ,39。 *11*,,1,),(,m (6) 以此类推，可 得到度为 m 的转发节点和只读节点的数量在  ttt , 时间段内的变化情况，如下：                mmcwwmmptmptptmWtmCtmptmWtmCttC39。 111|39。 ,39。 *11*,*p,1,*p),(,m (7)                 mmcwwmmptmptptmWtmGtmptmWtmGttG39。 111|39。 ,39。 *11*,*p1,1,*p1),(,m）（）（ （ 8） 由 （ 5），（ 6） 公式得到 ，        mmc mmptmptpttmN tmWttmN tmwttmW )|39。 (),39。 (*11),( ),(),( ,39。 1（ 9） 当Δ t 趋近于 0时，将（ 9）号公式右侧进行泰勒公式展开得到，未知节点的密度随时间的变 化关系 )(tw ：     )|39。 (),39。 (,39。 w1w mmptmptmpmpt tmpmc ， （ 10） 以此类推，联立（ 5），（ 7）公式在 Δ t趋近于 0 可以得到，转发节点的密度随时间变化的关系 )(ct ：     )|39。 (),39。 (,39。 w21c mmptmptmpmpt tmpmc ， （ 11) 联立 （ 5），（ 8）公式在 Δ t趋近于 0可以得到，只读节点的密度随时间变化的关系 )(tg ： 9     )|39。 (),39。 (,1*,39。 w11g mmptmptmppmpt tmpmc ）（ （ 12） 公式（ 10），（ 11），（ 12）分别描述了未知节点密度函数 W(t)，转发节点密度函数 )(tC ，只读节点密度函数 )(tG 随时间的变化情况。 这三个公式称为节点的传播动力学演化方程组，用于刻画整个网络中节点的演化力度 模型的 求解 数据 支撑 根据 twitter 社交网络的连接关系数据，对第一列中的用户账号和其对应的粉丝账号导入 SPSS 中进行描述统计分析，得出其频数数据。 并以此为基础对频数的分布进行统计处理。 spss 和 excel 对参考数据中的 835541 条记录进行 分析，统计 出用户 ID数和粉丝频数分布图等，部分数据截图如下，部分数据见附件。 10 粉丝初始度分布散点图0100200300400500600700800900 基于以上处理结果，对粉丝账号的整体分布情况求均值，得每个节点的平均粉丝度3343 3 3 . 8 1 5 838 3 5 5 4 1 /2 5 0m  ，此为普通网络用户和兼职宣传者的粉丝基数。 考虑到企业的选择偏好（假设 7），企业偏向于雇佣粉丝数较多的专业推广者，故专业推广者主要分布于粉丝高频段集中段。 从粉丝频数分布图可看出，频数为 401~500 的高频集中段用户数量高达 1458，占整个用户的 %。 故可将受雇佣的专业推广者化为归于此部分，求的其平均粉丝度为 m= )(mP  （度为 m 的节点的分布函数）的函数数据，以二维数组（ m ， )(mP  ） 的形式为后面编程求解所用。 每个用户名 ID 进行粉丝数分段点频数分布统计如下表： 粉丝数频数分布522241150 13014582020040060080010001200140016000~100 101~200 201~300 301~400 401~500 600以上 函数 模拟 每个节点首次受到消息后转发概率 P1, 根据问题情景中海怪号（ Mar Mostro）帆船发布所引起的 万互动信息中， 60%转发了这张照片，此处 P1 近似取值 . )(mP  （度为 m 的节点的分布函数）的函数数据， 为上述 二维数组（ m ， )(mP  ） ， m 为数组中 m的平均值。 对于 m,若为专业推广者则取上述高频分布段均数 477，普通用户和兼职宣传员则取 全部分布段 334. 11 基于以上基础数据 通过 C++编程， 求的 ),( tmL ， ),( tmpw ，  t tmp ,w，  t tmp ,c等中 间函数的对应数据。 再将上述中间数据导入 MATLAB中， 迭代运行模拟出 C(t),W(t),g(t)随时间的变化 情况，即 不同节点密度随时间的变化关系：（ W(t)为未知节点的密度， C(t)为转发节点的密度， g(t)为只读节点的密度）。 （部分代码见附件） 消息蔓延效应预测模型 此部分模型以前述二次模型为基础，以一次传播过程的基数为依据，将一次传播分 12 为原有粉丝引发的二次传播和新增粉丝引发的二次传播，并对他们分别代入消息蔓延效应预测模型中求出消息收听者的蔓延情况。 由于消息转发密度 C(t)和只读密度 G(t)演化情况不同，消息蔓延效应模型又分为消息转发者预测模型和消息接受 者预测模型。 根据 twitter 社交网站的用户之间的链接关系数据，分析出普通网络用户的原始粉丝分布平均数为 M，设 tS 为第一天新增的 500 名粉丝，所引起的粉丝消息蔓延效应（粉丝间消息不停转发传播）。 在第 t 天时新增的消息传播者； tK 第 t 天由普通网络用户引起的新增只读者 ，由 一个推广者在第 t 天新增的 500 粉丝在未来的 100t+1 天中所带来的新增转发者（转发节点数）为 tT ； )(t tCC  ，即第 t 天消息二次传播模型的传播节点密度函数 ； )(tWWt  ，即第 t 天消息二次传播模型的未知节点密度函数 ,且1001 t。 专业推广者第 1天新增的 500 粉丝后，在未来的 100t+1 天 里 由这些粉丝所引起的新增消息转发者情况： 第 1 天： 20)(M*W*C*500 111  S 第 2 天： 221212212 20)(M*WWC C *500 20)(M*W*C*  SS 第 3 天： 33213213323 20)(M*WWWCC C *500 20)(M*W*C*  SS 第 4 天： 44321432 14434 20)(M*WWWWCCCC *500 20)(M*W*C*  SS ...... 第 t 天： 20)(M*...WWWWC ...CC C *500 20)(M*W*C* t t321t 321tt1t  tSS 第 100 天： 10020)(M* W...WWWWC ...CCCC *500 20)(M*W*C* 100t321100t32 110010099100  SS 下图为 计算转发节点总数 T的过程图 ： 13 通过第 1天新增的 500 粉丝在未来的 100 天内总的消息转发者为： 1003211 ... SSSST  相应的，通过第 2 天新增的 500 粉丝在剩余的 100 天内总的消息转发者为： 20)(MWC )...( 11 100322   SSST 通过第 3天新增 的 500 粉丝在剩余的 100 天内总的转发者为： 22121 100433 2 0)(MWWC C ...  SSST „ 通过第 t天新增的 500 粉丝在剩余的 100 天内总的转发者为： 1t1t211t21 1001 20)(M...WWW...CC C ...   SSST ttt 显然通过第 100 天新增的 500 粉丝在当天内总的转发者为： 20)(M*C*500 )20(......100199219921100100tMWWWCCCST 14 则这 100 天内产生的总的转发者为： 100321 ...... TTTTTT t  到此 T 即为专业推广者在 100 内，每天新增的 500 名粉丝在所引起的消息转发者规模。 再以专业推广者 m=477 的粉丝基数，替代 上述 过程中的 500， 求的新的 )1(477T ，即为第 1 天收到消息的原始基础粉丝所引发的消息蔓延效应，持续 100 天后达到的 转发 者规模。 将上述 转发节点密度函数 C t替换为只读节点密度函数 G t，可得 消。