08东三省数学建模-商品定价的深层分析及雪场定价优化模型

08东三省数学建模-商品定价的深层分析及雪场定价优化模型内容摘要：

费用提供财务保证。 当消费者购物付款时，不论所付的价格是高于平均价格还是低于平均价格，首先得让他们确信物有所值。 为了适应市场环境的变化，企业应不断对产品的价格进行评估和调整，但无论怎样变化它们都遵循最基本的经济原理：利润是 收益 与成本的函数 利润 =总 收益 总成本 总 收益 是产品的销售价格与销量的乘积： 总 收益 =价格销 售量 我们在确定产品价格的时候追求利润最大化， 经济学中利润最大化的概念是： 总 收益 与总成本的差额最大，但是在亏损状态中亏损最小也是利润最大。 边际 收益 ： 新增单位产品的 收益 即总 收益 对产品数量的导数； 边际成本： 每增加单位产品所增加的变动成本，即总变动成本对产品数量的导数。 根据经济学中“ MR MC 定理”，即当企业的边际 收益 等于边际成本时，企业的利润最大化。 其原理如下图所示： 图 7 MR MC 定理图 由图可以看到，当 MR MC ，即产量为 eq 时，企业利润必定最大（或者亏损最小） ，P P1ePGOqqqEFAR MRMCAC G O 1q eq F E MC AC AR MR q 12 这时从总量来看， eOpEq 的面积为总 收益 ， eOGFq 的面积为总成本，两者的差额 GpEF的面积 为最大利润。 p 为 市场供求决定的 均衡价格。 虽然边际成本曲线和边际 收益 曲线的交点决定了产出水平，但由于需求是有弹性的，所以生产者和消费者对价格的变化的响应是不同的。 需求价格弹性与价格的关系我们在上面已经做了详细讨论。 所以我们在确定价格的时候不光要考虑固 定成本和边际成本，以及企业的生产能力，还要对市场的需求进行分析。 实际中的定价 在 上文 成本和价格的关系中，我们分析了如何根据 已知的 成本确定出盈亏平衡时的销量，以及 企业的目标利润一定时如何确定销量。 但那种情况是在理想化的条件下，下面我们考虑在实际情况中。 图 8 产品收益盈亏图 根据图中信息我们可以用下面的方法计算出利润最大时产品的价格： 1) 根据公式 TTR C，找到  的最大值，即图中需求曲线和总成本曲线之间距离最大，表示供需平衡状态下销售 收益 减去相对应的总成本所得到的利润为最大； 2) 过原点 O 做直线 OA ，其中 A 点对应的需求量为 Aq ， 销售 额为 AR ， 那么此时的价格 则为 AARP q ，即直线 OA 的斜率 ； 3) 图中的 B 点表示盈亏平衡点，即在 B 点的情况下销售 收益 与生产总成本相等，企业需要生产 Bq 个产品并全部按照预期的价格销售完，才能使生产不亏本。 绘制模型图 具体步骤如下： 1) 先确定模型图中的横纵轴：其中横轴代表产品销售量 用 q 表示 ，纵轴代表 收益 和成本的 金额 2) 确定总成本：可以利用我们上面介绍的方法，分析企业生产过程中的所有花费，计算出企业生产过程中的固定成本和变动成本 ，并在模型图上画出。 一般情况下，总成本先以递减速度增加，后以递增的速度增加。 3) 确定市场需求曲线：企业通过市场调研，我们可以得到在某些价格时，市场的需求量，即已知了需求曲线 上一系列的点，然后根据得到的点绘制出一个范围内的价格相对应的市场需求量。 一般情况下，通过市场调研，我们希望解决的问题包括价格弹性曲线、消费者的价格期望、特定细分市场的地理位置及其市场容量、消费者对替代品的销量 q TC TRTR 需求曲线 FC o A B 金额（元） 13 品质优劣评价等。 4) 确定总收益曲线： 由于市场 供求决定的 最优 价格 p 看作常数，所以总收益*TR p q 是一条斜率为 p 的直线。 问题二 在我们国家， 随着我国经济水平的不断上 升，国民生活日益多样化，追求精神娱乐享受成为一种趋势。 国内也相继掀起了大量康乐服务热潮。 就像以前只是专业运动员的比赛项目滑雪也逐渐被大众所青睐，被认为是一种健康时尚的运动。 每年冬季，北方的滑雪场都聚集了许多本地、外地甚至国外游客。 对于这种消费趋势，是滑雪场所愿意看到的。 但是，如何制定收费方式，使其利润最优，却是需要认真考虑的。 因为滑雪场的特殊情况是：建设成本高，经营周期短，属于高消费场所。 那么我们就有必要对雪场不同的收费方式进行仔细调查分析和求解，为其作出最有定价。 对滑雪场一些基本数据的假设：根据所调查北 方滑雪场的基本情况，我们以实际中的滑雪场为标准，假定我们研究的滑雪场具有以下特点： 总 造价： 3000TC  万 ； 最 多同时 容纳人数： max 2500q  人 ； 基本 门票 价格： 0 120p  元 ； 平均 变动 成本： hC ； 总收入： TR； 门票价格： ip ； 滑雪者 数 量 ： q 20 次卡的特点： A. 此卡仅含门票， 但是 平日、周末、节假日、夜场都 可 使用 ，并且多人一块来滑雪，比如家庭、亲戚、朋友一块，只需要一张卡就可以多人同时使用。 此卡不分持有者，只要持卡就可消费。 故特别适合家庭、单位等集体成员需要一块滑雪时办理此卡。 B. 购买此卡滑雪消费享受价格的优惠。 不论 是 按 小时滑雪消费，还是全天滑雪消费，同柜台售票消费相比， 平均每次滑雪价格都比柜台票低。 那么综合 20 次考虑，就可节省出很大一部分开支。 C. 此卡 携带使用方便，每次使用只需每人每次打孔一 个就可以，无需其他手续，直到用完 20 次为止。 但是此卡必须在一年内消费完，否则第二年无法继续使用，并且没用完的也不退款。 年卡的特点 ： A. 此卡 平日、周末、节假日、夜场都可使用， 在一年雪场开放期间，可随时来滑雪， 但只限本人使用 ，不能转借、出售他人。 B. 只要凭借此卡，就可享受一切方便条件，包括 滑雪板、 脱落器、附件垫板、滑雪鞋、滑雪杖、滑雪服、手套、帽子、滑雪眼镜等一套标准雪具，还有任何滑雪场娱乐活动，例如雪上卡丁车、雪上飞碟等。 滑雪场所有收费项目对年卡持有者都是免费的。 但是像住宿、餐饮、温泉等相关增值服务费用不包括 在内。 C. 购买此卡 滑雪可以无限次数使用，并且滑雪不分时间长短，持有者想玩什么想玩多久都可以。 D. 使用方便，只需在办理时缴纳一定费用，就可得到以上优惠条件。 14 俱乐部组团滑雪的特点： A. 滑雪者通过俱乐部组团来雪场滑雪，这样滑雪者只需向俱乐部缴纳一定费用，不用再考虑如何选择乘车路线及费用，也不用个人去办理其他手续，这样可以避免缴纳费用所带来的不便。 只需尽情享受滑雪所带来的刺激。 B. 对外地游客来说，组团是最好的滑雪方式。 首先外地游客对本地交通及吃住等方面知之甚少，通过正当的俱乐部就不用考虑这些问题，其次，外地游客不能直 接去滑雪场进行实地了解，最好的方式就是直接通过身边的俱乐部对比各个滑雪场的收费情况及基础设施情况，决定选择哪家滑雪场。 最后，从安全方面来讲，外地游客组团来滑雪是一个很明智的选择，这样就避免了和陌生人打交道，俱乐部会本着对游客服务的态度，细心周到的为每一位游客的人身及财产安全做好保证。 C. 通过俱乐部来滑雪，可以享受价格优惠。 因为俱乐部通过组团的方式可以从滑雪场得到优惠门票，扣去自己的一部分收入，就是滑雪者需向俱乐部缴纳的费用，但它比在柜台直接买票所交的费用少。 自带雪具者的特点： A. 滑雪者滑雪设备自己携带，这样滑 雪者根据自己的身体状况，为自己选择最合适最安全的滑雪设施，避免滑雪场提供的雪具不适合自己，或者滑雪场所提供的 雪具 质量低下，不能满足专业的要求。 B. 滑雪者自带 雪具 ，只使用雪场的缆车与雪道，故滑雪者应该享受比不带 雪具 者较低的价格，从长远的角度讲，一般自带雪具者属于滑雪爱好者，那么通过这种方式既能有一套属于自己 雪 具，一段时间 后 ，也可节省出相当的费用。 成本分析 通过查阅滑雪场资料，并进行网上价格调查，我们了解到 对于 一家专业滑雪场，应该包括雪场基础设施和雪场配套设施，我们列举出了主要的一些设施以及基本价钱： 基础设施（ 2020 万）：初、中、高档三条雪道，以满足不同滑雪者的需求； 拖牵索道 、 雪圈滑道 、 高空缆车 ； 一些滑雪及娱乐项目，例如 雪地飞碟 、 雪地摩托 、 冰上自行车 、 雪爬犁 、 马拉爬犁 、雪地卡丁车 、 国际标准冰场 、 动力三角翼 等。 表 2 配套设施 设施 造雪机 压雪机 雪具 存包处 员工 救护站 保险 数量 10 台 3台 2500套 1000 个 80 个 2个 1份 价格（万元） 300 300 750 10 192 10 说明： ： 设施：这些设施只包括与雪场经营直接相关的，不包括增值服务设施如餐饮、住宿等； 雪具： 500 套标准套装（每套 3800 元） 包括 双板滑雪板 （ 单板滑雪板）、脱落器、附件垫板、滑雪鞋、滑雪杖、滑雪服、头盔、手套、帽子、滑雪眼镜等一套标准雪具； 2020 套基本套装（每套 2800）包括滑雪板、滑雪鞋、滑雪杖、脱落器等； 保险：为每位游客提供一份 10 元的公众责任保险。 15 除此之外，滑雪场每年应当向政府缴纳一定的税收，根据财政部 、国家税务总局《关于调整部分娱乐业营业税税率的通知》（财税〔 2020〕 73 号），确定滑雪场属于娱乐业里面的游艺税目，应该缴纳的税收计算式为：  = 应 纳 税 额 收 入 总 额 成 本 损 失 税 率 按照规定，滑雪场应该缴纳五种税收，它们的税率总和为 33%。 由于滑雪场损失的不确定性，在后面计算过程中我们假设不考虑滑雪场的损失。 所以上式就为：  = 应 纳 税 额 收 入 总 额 成 本 税 率 我们可以把这些设施分为固定成本和变动成本，其中固定成本包括基础设施、存包处、救护站等的建设费，造雪机、压雪机、雪具 等的采购费、救生员及雪场工作人员的工资以及，这些费用都不随滑雪者数量的变化而变化，是基本固定的；我们将设施的维护费和设施的折旧费定为主要的变动成本，他们都随滑雪者的数量增加而增加，根据经济学知识，我们可以将变动成本以平均的方式进行核算，根据东北一些滑雪场往年的年度财政报告我们计算出平均每人的变动成本为 元，记为 h C 元。 需求分析 通过上文比较四种收费方式，这些方式都是 通过价格和服务的优惠来实现的。 根据四种收费方式的特点， 发现这些收费方式对应的需求 人群不一样： 表 3 收费方式 —— 需求人群表 收费方式 20次卡 年卡 俱乐部 自带 雪 具者 需求人群 本 地 经 常滑雪 且收入一般者 本地 爱好滑雪且收入较高者 外 地 游 客或本地偶尔滑雪者 滑 雪 爱 好者 划分理由 对 于 爱 好滑雪的人来说，20 次基本可以用完，且一般以家庭、朋友为群体 进行活动。 追求高档享受，并能够支付相应费用，来满足个人爱好。 外 地 游 客一般是初次尝试滑雪，寻求方便而随团；本地偶尔滑雪者为了体验滑雪乐趣而进行较少次数的滑雪。 对 滑 雪 比较热衷，且对滑雪设施要求较高，一般自带专业滑雪用具。 根据上表的划分和 调查的资料显示，我们以 某 几个 城市 为例， 资料显示， 2020 年 这几个 城市的 滑雪者中， 超过 70%为 外地 游客，本地人只占不到 30%，因此可以推论 ： 在四种优惠收费方式中，参加俱乐部形式的滑雪者在整个滑雪者群体中占 最大比例， 是构成滑雪场收益的最主要部分； 在不到 30%的本地游客中， 持 20 次 卡 者 和 自带雪具者 构成了本地游客的主要部分， 加之购买 20 次卡相当于增加了滑雪的人次， 自带雪具者 来的次数也较多， 所以它们的费用构成了滑雪场收益很重要的一部分 ；购买高价的年卡的人数就更少了 ，所以年卡所带来的收益是最少的一部份。 根据问题一中需 求弹性系数的计算方法， 16 ddddpdpdddddpQPdPdPPQEQPPQPPE**lim*0 在理论上，价格和需求的变化都是连续的，并且通常我们考虑降价是按照等比例的降价方式进行降价分析， 例如第一次假设降价 10%,第二次降价 5%，这种降价分析方式可以精确到一角钱或者是一分钱，但是在 滑雪场的问题中，这种分析方式显然不适合我们。 实际当中，当一个商品的价格比较高的时候， 通常它都是整数的，不会涉及到角和分。 在我们的问题中，滑雪场的门票基本价格为 120 元，显然我们所设计的门票价格不能为像 元这样精确到角 的价格 ，这样既给销售门票的 工作带来不便，也 为游客带来不便。 相对于高额的整数部分，消费者 就 会忽略小数部分，游客 不愿意购买门票时支付几角钱，或者让销售者找一大堆零钱， 这样 带在身上会比较 麻烦，特别是在要运动的情况下。 综合上述分析，我们采取单位钱数的降价，即以 5块钱为单位，进行降价分析，得到在不同价位时滑雪场所能获取的收益。 我们以假设滑雪场门票价的需求。