西南交大数学建模校内第二次选拔赛关于彩票的购买的论文

西南交大数学建模校内第二次选拔赛关于彩票的购买的论文内容摘要：

或固定额 中奖率 奖金比率或固定额 中奖率 奖金比率或固定额 一等奖 70% 75% 100% 二等奖 30% 20% 50 三等 奖 3000 5% 5 四等奖 200 3000   五等奖 10 600   六等奖 5 100   七等奖   10   八等奖   5   总中奖率iP    7 低项将中奖率    高项奖中奖率    固定额期望PX    问题一结果的分析及验证 通过对结果的分析，我们可以看出，奖项越高中奖率越低，这符合彩票商的销售手段，并且结果与 根据官方给出的数据一样，说明模型计算准确。 问题二模型建立与求解 问题二的分析 构建一个吸引力效 用函数，由函数的某些特性来间接评判 .该函数包含一定的信息量，间接反映了提供信息的方案的合理性，制定一定的标准，从而可以进行决策。 模型一（吸引力效用函数）：彩民的目的就是去中奖，且把大部分目光投放在高项奖上，高项奖的回报率、中奖率，是吸引彩民的关键信息 .由于中高奖太难，也有一部分人把目光投放在低项奖上，即低项奖的回报率、中奖率也是一个关键信息 .因此，可考虑选取吸引彩民购买彩票的关键信息，构造一个包含这些已关键信息的函数，这个函数表面上是彩票对移民的吸引力函数，其实体现的是这种影票的合理性 .如果它的设置合理， 对彩民的吸引力自然就大，彩票的销售量自然就好。 构造一个移民潜在购买量函数，采用暗含评价标准的函数来评判 .主要是假设函数彩票销售总额确定，通过比较彩民潜在购买量与销售总额的相符程度来进行评判。 模型二（潜在购买量评判模型）：模型一的思想是构造一种效用函数，由效用函数的大小来确定各方案的合理性，简单易行，可操作性强 .缺点是并没有真正建立一种判定的标准，而是在相互比较中得出相对合理性较强与相对合理性较弱，或者说相对不合理性较强与相对不合理性较弱的方案。 再利用模型二的关系，并且添加约束，对彩票方案进行优 化设计。 5.. 问题二模型的建立 模型一的建立 选取了四个关键因素，分别为： p ：高奖项中奖率； p ：低奖项中奖率； q ：高奖项的回报率； q ：低奖项的回报率； 8 建立效用函数： 1 2 3 4m a x ( )L q q p p           （ 18） 其中： 31 iipP  （ 19） 4 ( 7 8 )niip P n  或  （ 20） （ 注 ：不同的彩票玩法， n 取不同的值，下同 ) 4411( 1 ( ) ) , ( )22nni i i iiiq P X q P X      (一 )参数确定 Step1：和法求权重 本模型的权重确定，是一个典型的单一准则下元素相对权重计算问题，可用层次分析法中的权重计算方法确定。 根据四个因素对彩民的吸引力强弱不同，列出吸引力强弱的不同（吸引力越大，销售量就越高），列出吸引力判断矩阵 A如表1： 表 1 q q p p q 1 3 2 4 q 1/3 1 2 1/2 p 1/2 1/2 1 3 p 1/4 2 1/3 1 Step2:一致性检验 计算单一准则下元素相对权重向 量时，必须进行一致性检验，步骤如下： 1）一致性指标 max.. 1nCI n   ， max 为判断矩阵 A的最大特征根。 计算得. . 。 2）平均随机一致性指标 ..RI 查表得 . .  . 3）一致性比例 .... ..CICR RI . 计算得 . . 11 6 ,CI 这表明判断矩阵的9 一致性是可以接受的。 模型二建立 潜在购买量评判模型的目的是要建立一个能衡量彩民可能购买彩票量 ()F的函数，这个函数应该是一个关于销售总量 ()M 的函数，据此就可以将它与销售总量比较 .销售总量有一定的范围，这由当地人群决定，是一客观存在的数据 .假设可以达到最大销售总量 maxM ， 那么在销售量为 maxM ， 并且潜在购买量与销售总量非常接近时，该方案最合理。 判定标准为：若 m a x m a x m a x( ) 0 .0 5 ,F M M M则方案设置合理。 影响彩民潜在购买量的因素主要有三种 :中奖率，一等奖、二等奖的总奖金额，寻求剌激、盲目从众、受彩票宣传吸引等其他因素 .分析这些因素可知，中奖率愈大，彩民可能购买的量愈大。 一等奖、二等奖的奖金额愈高，彩民可能购买的量愈大。 只考虑其他积极因素，这些因素愈大，彩民可能购买的量愈大 .因此，构建潜在购买量校验模型如下 : 1 2 3l n ( ) .F p A B g M         （ 21） 其中 ipP 表示总中奖率， ()gM 表示彩民受其它因素吸引函数 ； 14( 1 ( ) )2niiiMA P X k    (n 值的确定依彩票的实际中奖率而定，下同 ) （ 22） 表示一等奖的总奖金额； 24( 1 ( ) )2niiiMB P X k     （ 23） 表示二等奖的总奖金额。 在中奖率、奖项设置一定的前提下，表示彩民受其他因素吸引的函数 ()gM是一个只关于彩票销售总额的函数，销售总额愈大，彩票管理部门投入到宣传的资金愈多，彩民愈会被吸引。 同时购买彩票的彩民多了，其他彩民或非彩民也会由于盲目从众、彩民间的相互鼓动等作用而去购买这种彩票 .当然这种吸 引不会随彩票销售总额的增加而一直增加下去，它是一个呈一定范围内变化的函数，这种函数称为效用函数。 构造效用函数： () Mg M a bce 。 当 M ， ()gM 应该接近 maxM ，故 maxaM ； 当 0M ， ()gM 应该接近 0，故 maxbM。 10  是一个与销售量的量纲有关系的常量，若以千万为单位，可取 33 10  ，故 a x( ) (1 )Mg M M e 。 （一）参数确定 Step1：  的确定 中奖率不会随销售总额的增加而增加，这是一个与 M 无关的常量 .根据经验，可取  =35。 Step2： 1 ， 2 和 3 的确定 当销售总额增加时，相应的一等奖、二等奖的总奖金额及吸引效用函数都会增加。 据统计，当彩票管理部门在一定的销售额范 围内增加影票销售量并制定相关计划后，彩民的购买量会大幅度增加，增加的这部分购买量有 1/3 是因为看中了大奖。