初二数学：三角形知识点总结及压轴题练习(附答案解析

初二数学：三角形知识点总结及压轴题练习(附答案解析内容摘要：

毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为 2340176。 的新多边形，则原多边形的边数为（ ） A． 13 B． 14 C． 15 D． 16 【分析】 根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多 1 条边，可得答案 ． 【解答】 解：设新多边形是 n 边形，由多边形内角和公式得 （ n﹣ 2） 180176。 =2340176。 ， 解得 n=15， 原多边形是 15﹣ 1=14， 故选： B． 【点评】 本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键． 二．填空题（共 13 小题） 14．（ 2020•资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 8 ． 【分析】 任何多边形的外角和是 360176。 ，即这个多边形的内角和是 3 360176。 ． n 边形的内角和是（ n﹣ 2） •180176。 ，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】 解：设多边形的边数为 n，根据题意，得 （ n﹣ 2） •180=3 360， 解得 n=8． 则这个多边形的边数是 8． 【点评】 已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． 15．（ 2020•镇江）如图，小亮从 A 点出发，沿直线前进 10 米后向左转 30176。 ，再沿直线前进 10 米，又向左转 30176。 ， …，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了 120 米． 第 16 页（共 33 页） 【分析】 由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【解答】 解： ∵ 360247。 30=12， ∴ 他需要走 12 次才会回到原来的起点，即一共走了 12 10=120 米． 故答案为： 120． 【点评】 本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360176。 ． 16．（ 2020•随州）将一副直角三角板如图放置，使含 30176。 角的三角板的短直角边和含 45176。 角的三角板的一条直角边重合，则 ∠ 1 的度数为 75 度． 【分析】 根据三角形三内角之和等于 180176。 求解． 【解答】 解：如图． ∵ ∠ 3=60176。 ， ∠ 4=45176。 ， ∴∠ 1=∠ 5=180176。 ﹣ ∠ 3﹣ ∠ 4=75176。 ． 故答案为： 75． 【点评】 考查三角形内角之和等于 180176。 ． 17．（ 2020•上海）当三角形中一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍时，我们称此三角形为 “特征三角形 ”，其中 α 称为 “特征角 ”．如果一个 “特征三角形 ”的 “特征角 ”为 100176。 ，那么这个 “特征三角形 ”的最小内角的度数为 30176。 ． 【分析】 根据已知一个内角 α 是另一个内角 β 的两倍得出 β 的度数，进而求出最小内角即可． 【解答】 解：由题意得： α=2β， α=100176。 ，则 β=50176。 ， 180176。 ﹣ 100176。 ﹣ 50176。 =30176。 ， 故答案为： 30176。 ． 【点评】 此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出 β 的度数是解题关键． 18．（ 2020•遂宁）若一个多边形内角和等于 1260176。 ，则该多边形边数是 9 ． 【分析】 根据多边形内角和定理及其公式，即可解答； 第 17 页（共 33 页） 【解答】 解： ∵ 一个多边形内角和等于 1260176。 ， ∴ （ n﹣ 2） 180176。 =1260176。 ， 解得， n=9． 故答案为 9． 【点评】 本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式． 19．（ 2020•北京）如图是由射线 AB， BC， CD， DE， EA 组成的平面图形，则 ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5= 360176。 ． 【分析】 首先根据图示，可得 ∠ 1=180176。 ﹣ ∠ BAE， ∠ 2=180176。 ﹣ ∠ ABC， ∠ 3=180176。 ﹣ ∠ BCD， ∠ 4=180176。 ﹣ ∠ CDE， ∠ 5=180176。 ﹣ ∠ DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形 ABCDE 的内角和是多少，再用 180176。 5 减去五边形 ABCDE 的内角和，求出 ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5 等于多少即可． 【解答】 解： ∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5 =（ 180176。 ﹣ ∠ BAE） +（ 180176。 ﹣ ∠ ABC） +（ 180176。 ﹣ ∠ BCD） +（ 180176。 ﹣ ∠ CDE） +（ 180176。 ﹣ ∠ DEA） =180176。 5﹣（ ∠ BAE+∠ ABC+∠ BCD+∠ CDE+∠ DEA） =900176。 ﹣（ 5﹣ 2） 180176。 =900176。 ﹣ 540176。 =360176。 ． 故答案为： 360176。 ． 【点评】 此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（ 1） n 边形的内角和 =（ n﹣ 2） •180 （ n≥ 3）且 n 为整数）．（ 2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为 360176。 ． 20．（ 2020•自贡）一个多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180176。 ，则它的边数是 9 ． 【分析】 多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180176。 ，而多边形的外角和是 360176。 ，则内角和是 3 360176。 +180176。 ． n 边形的内角和可以表示成（ n﹣ 2） •180176。 ，设这个多边形的边数是 n，得到方程，从而求出边数． 【解答】 解：根据题意，得 （ n﹣ 2） •180176。 =3 360176。 +180176。 ， 解得： n=9． 则这个多边形的边数是 9． 故答案为： 9． 【点评】 考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量 第 18 页（共 33 页） 关系，构建方程 即可求解． 21．（ 2020•徐州）若正多边形的一个内角等于 140176。 ，则这个正多边形的边数是 9 ． 【分析】 首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【解答】 解： ∵ 正多边形的一个内角是 140176。 ， ∴ 它的外角是： 180176。 ﹣ 140176。 =40176。 ， 360176。 247。 40176。 =9． 故答案为： 9． 【点评】 此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数． 22．（ 2020•黔东南州）在 △ ABC 中，三个内角 ∠ A、 ∠ B、 ∠ C 满足 ∠ B﹣ ∠ A=∠ C﹣ ∠ B，则 ∠ B= 60 度． 【分析】 先整理得到 ∠ A+∠ C=2∠ B，再利用三角形的内角和等于 180176。 列出方程求解即可． 【解答】 解： ∵∠ B﹣ ∠ A=∠ C﹣ ∠ B， ∴∠ A+∠ C=2∠ B， 又 ∵∠ A+∠ C+∠ B=180176。 ， ∴ 3∠ B=180176。 ， ∴∠ B=60176。 ． 故答案为： 60． 【点评】 本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出 ∠ A+∠ C=2∠ B 是解题的关键． 23．（ 2020•达州）如图，在 △ ABC 中， ∠ A=m176。 ， ∠ ABC 和 ∠ ACD 的平分线交于点A1，得 ∠ A1； ∠ A1BC 和 ∠ A1CD 的平分线交于点 A2，得 ∠ A2； …∠ A2020BC 和 ∠ A2020CD的平分线交于点 A2020，则 ∠ A2020= 度． 【分析】 利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证 ∠ A1= ∠ A，进而可求 ∠A1，由于 ∠ A1= ∠ A， ∠ A2= ∠ A1= ∠ A， …，以此类推可知 ∠ A2020= ∠A= 176。 ． 【解答】 解： ∵ A1B 平分 ∠ ABC， A1C 平分 ∠ ACD， 第 19 页（共 33 页） ∴∠ A1BC= ∠ ABC， ∠ A1CA= ∠ ACD， ∵∠ A1CD=∠ A1+∠ A1BC， 即 ∠ ACD=∠ A1+ ∠ ABC， ∴∠ A1= （ ∠ ACD﹣ ∠ ABC）， ∵∠ A+∠ ABC=∠ ACD， ∴∠ A=∠ ACD﹣ ∠ ABC， ∴∠ A1= ∠ A， ∴∠ A1= m176。 ， ∵∠ A1= ∠ A， ∠ A2= ∠ A1= ∠ A， … 以此类推 ∠ A2020= ∠ A= 176。 ． 故答案为： ． 【点评】 本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出 ∠A1= ∠ A，并能找出规律． 24．（ 2020 春 •金台区期末）如图， △ ABC 中， ∠ A=40176。 ， ∠ B=72176。 ， CE 平分 ∠ ACB，CD⊥ AB 于 D， DF⊥ CE，则 ∠ CDF= 74 度． 【分析】 利用三角形的内角和外角之间的关系计算． 【解答】 解： ∵∠ A=40176。 ， ∠ B=72176。 ， ∴∠ ACB=68176。 ， ∵ CE 平分 ∠ ACB， CD⊥ AB 于 D， ∴∠ BCE=34176。 ， ∠ BCD=90﹣ 72=18176。 ， ∵ DF⊥ CE， ∴∠ CDF=90176。 ﹣（ 34176。 ﹣ 18176。 ） =74176。 ． 故答案为： 74． 【点评】 主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（ 1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（ 2）三角形的内角和是 180 度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180176。 ”这一隐含的条件；（ 3）三角形的一个外角 ＞ 任何一个和它不相邻的内角．注意：垂直和直角总是联系在一起． 第 20 页（共 33 页） 25．（ 2020•临安市 ）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（ 1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（ 2）所示的正五边形 ABCDE，其中 ∠ BAC= 36 度． 【分析】 利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】 解： ∵∠ ABC= =108176。 ， △ ABC 是等腰三角形， ∴∠ BAC=∠ BCA=36 度． 【点评】 本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． n 边形的内角和为： 180176。 （ n﹣ 2）． 26．（ 2020•河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则 ∠ 3+∠ 1﹣ ∠ 2= 24176。 ． 【分析】 首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出 ∠ ∠ ∠ 2 的度数是多少，进而求出 ∠ 3+∠ 1﹣ ∠ 2 的度数即可． 【解答】 解：正三角形的每个内角是： 180176。 247。 3=60176。 ， 正方形的每个内角是： 360176。 247。 4=90176。 ， 正五边形的每个内角是： （ 5﹣ 2） 180176。 247。 5 =3 180176。 247。 5 =540176。 247。 5 =108176。 ， 正六边形的每个内角是： （ 6﹣ 2） 180176。 247。 6 =4 180176。 247。 6 =720176。 247。 6 =120176。 ， 则 ∠ 3+∠ 1﹣ ∠ 2 第 21 页（共 33 页） =（ 90176。 ﹣ 60176。 ） +（ 120176。 ﹣ 108176。 ）﹣（ 108176。 ﹣ 90176。 ） =30176。 +12176。 ﹣ 18176。 =24176。 ． 故答案为： 24176。 ． 【点评】 此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（ 1）。