20xx年数学建模竞赛a题论文

20xx年数学建模竞赛a题论文内容摘要：

工具箱中的命令 regress 求解，并用 rcoplot命令进行残差分析 ，得到下面的结果（程序 及详细结果见附录）：    残差图如图 11 所示，从途中可以看出除了第一个和第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明得到的回归模型 12 能较好的符合原始数据，而第一个和第二个数据可视为异常点。 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 4 0 3 0 2 0 1 001020304050残差分析图rintr图 11：残差分析图 d、检验：在上面参数求解中得到的相关系数 R2 、 F 值由于 Matlab 的精度限制未能得到符合实际的解，所以这里采用 SPSS 软件进行进一步求解，得到部分结果如下： R=， R2 =， F=，由此可看出模型是合理的。 回归方程与散点图的对比图如图 12 所示（使用 Matlab 绘制）： 1000 1500 2020 2500 3000 3500 40005001000150020202500300035004000理论流量实际流量 图 12：回归方程与散点图的对比图 13 通过上述一元线性回归模型得到的实际油量与理论油量的关系，来修正理论公式，得到最后的油量公式如下： 73 .25 42 98 6VV   理实 用修正后的油量公式算出的数据与实际数据进行对比，差值减小了很多，如图 13 所示： 05001000150020202500300035004000 高度（m m ）流量（L）实际流量与高度的关系修正后理论流量与高度的关系 图 13：修正后理论油量和实际油量与高度的关系图 ③ 考虑倾斜变位出油的情况时，与无变位进油一样没有油量的初始值，由变位进油的分析得到油位高度在 附近理论值与实际值最接近，由此算出出油时油位高度为 升的理论油量，以这个值作为实际值的初始值，通过累加进油量得到每个油位高度对应的实际油量。 然后利用变位进油得到的修正公式算出变位出油的理论油量，与实际油量进行对比，对比图如图 14 所示，图形基本重合，在误差允许范围内，进油与出油均可利用进油时得到的修正公式进行罐容表的标定，由 上面 得到标定范围为 （ 1471 ， 1171） mm，得到标定值如下表1 所示。 05001000150020202500300035004000 高度（mm）油量（L）实际油量与高度的关系理论油量与高度的关系 图 14：变位出油的理论油量和实际油量与高度的关系 14 表 1：标定值 高度（ mm） 无变位标定值（ L） 倾斜变位标定值 （ L） 1080 1090 1100 1110 1120 1130 1140 1150 1160 1170 注：表 1 给出罐容表标定 值最后的 10 个，全部 的 标定值 在附录中。 两个标定值的对比散点图如图 15 所示： 0500100015002020250030003500400045000 200 400 600 800 1000 1200 1400高度（m m ）油量（L）无变位罐容表倾斜变位罐容表 图 15：无变位标定值和倾斜变位标定值分别与高度关系的散点图 由图 15 可知，在油位高度接近满罐的时候，无变位标定值与倾斜变位标定值非常接近，油位高度越小，差值越大。 问题二 模型的建立 经查阅资料 ， 考虑到 实际 油罐体在变位后 对油位高度有一定 的要求， 为 安全高度。 此问题中 安全高度为 6 ta n 2 2 ta nhR  ，故只考虑这个高度段的情形即如图 17 所示得情况。 首先计算罐体主体圆柱体 中油的 的体积 V身 ① 的引入 15 当只有横向偏转角度 时， 如图 16所示，罐体 内油位实际高度值 1h 和所读出 油位高度值 h ，由图上几何关系可得： 1 ( ) c osh h R R   图 16 ②  的引入 在图 16 所建立的坐标系中，可以得到圆的方程  2 2 2 y R R  ,则图示A 点坐标为  22,R y y ，积分可得到油面面积为：   1 221 2RhRS h R y d y 通过 MATLAB 软件进行数值积分得：       111 si n 2 a r c o s 1 / 1 .52 .2 5 a r c o s 1 / 1 .5 2 hS h h        当纵向倾斜角为  时， 距离 左端原点 水平距离 为 x 处的实际油位高度为：  11 2 ta n ta nh x h x   将 1hx带入到  1Sh 中 可以得到 Sx： 16        11 si n 2 a r c os 1 2 t a n t a n / 2 t a n t a a r c os 1 32 hxhxSx            所以罐体主体圆柱体的体积即可表示为：  L0 SV x dx身 再计算 出两端 球冠体 中油 的体积 V头 在求解球冠体的体积时，分析后可通过一个简单的近似来简化计算，即使球冠体中水平的油面近似处理为平行于罐体倾斜时的平面。 图 17 先由 图 17 中几何关系求出球冠体的半径 r ：  2221Rrr   解得 ：  按照与 中相同的方法 积分按图示 17 可以得到：      1 1 12 .6 4 0 6 a r c o s 1 / 1 .6 2 5 0 .5 sin ( 2 a r c o s 1 / 1 .5 )S h h h             221 ( 1 )h y R R y r     将 1hx带入到  1Sh 中可以得到 Sy，所以得到球冠体中油量为：  39。 0hV S y dy头 其中： 39。 1 2 tanhh  17 综合 和 中的计算可得到在位变а和β下实际罐体内的储油量 V 为：    39。 L002 S 2 hV V V x d x S y d y   身 头 ， 其中 ： 39。 1 2 tanhh  ， 1 ( ) c osh h R R  ， 8L ， R= ，  ，        11 si n 2 a r c os 2 t a n t a n / 12 2 t a n t a a r c os 132 hxhxSx         ，      22222 .6 4 0 6 a r c o s 1 ( 1 ) / 1 .6 2 51 .3 2 0 3 sin ( 2 a r c o s 1 ( 1 ) / 1 .5 ) 2 .6 4 0 6S y R R y rR R y r                模 型的求解 用最小二乘法求   、值的估计值和 ： 上面 计算得到的罐内储油量与油位高度及变位参数的关系，油位高度与储油量的关系不是线性关系，这里采用最小二乘法求解变位参数的估计值，一般非线性模型的形式为：   ),(xfy 其中， f 是一般的非线性函数，  是参数向量（  [ ] ），  是随 机误差变量，期望为零。 编程实现： Step1： 采用高斯 牛顿公式，直接求出 和 . Step2： 取。