北师大版初中数学知识点总结

北师大版初中数学知识点总结内容摘要：

对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x轴对称  横坐标相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于 y 轴对称  纵坐标相等，横坐标互为相反数 点 P 与点 p’关于原点对称  横、纵坐标均互为相反数 点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （ 1）点 P(x,y)到 x轴的距离等于 y ；（ 2）点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x ；（ 3）点 P(x,y)到原点的距离等于 22 yx  考点三、函数及其相关概念 变量与常量 ： 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般 地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x是自变量， y 是 x的函数。 函数解析式 ： 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 函数的三种表示法及其优缺点 （ 1）解析法 ： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示。 （ 2）列表法 ： 把自变量 x的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系。 （ 3）图像法 ： 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 由函数解析式画其图像的一般步骤 （ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （ 3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 （ 3~10 分） 正比例函数和一次函数的概念 ： 一般地，如果 bkxy  （ k， b是常数， k 0），那么 y 叫做 x的一次函数。 特别地，当一次函数 bkxy  中的 b 为 0 时， kxy （ k 为常数， k 0）。 这时， y 叫做 x的正比例函数。 一次函数的图像 ： 所有一次函数的图像都是一条直线 一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数 bkxy  的图像是经过点（ 0， b）的直线；正比例函数 kxy的图像是经过原点（ 0， 0）的直线。 k 的符号 b 的符号 函数图像 图像特征 10 k 的符号 b 的符号 函数图像 图像特征 k0 b0 y x 图像经过一、二、三象限， y 随 x的增大而增大。 b0 y x 图像经过一、三、四象限， y 随 x的增大而增大。 k0 b0 0 x 图像经过一、二、四象限， y 随 x的增大而减小 b0 0 x 图像经过二、三、四象限， y 随 x的增大而减小。 注：当 b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 正比例函 数的性质 （ 1）当 k0 时，图像 经过 第一、三象限， y 随 x的增大而增大； （ 2）当 k0 时，图像经过第二、四象限， y 随 x的增大而减小。 一次函数的性质 （ 1）当 k0 时， y 随 x的增大而增大 （ 2）当 k0 时， y 随 x的增大而减小 正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 kxy （ k 0）中的常数 k。 确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 bkxy  （ k 0）中的常数 k 和 b。 解这类问题的一般方法是待定系数法。 考点五、反比例函数 反比例函数的概念 ： 一般地，函数 xky （ k 是常数， k 0）叫做反比例函数。 反比例函数的解析式也可以写成 1kxy 的形式。 自变量 x的取值范围是 x 0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲 线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原 11 点对称。 由于反比例函数中自变量 x 0，函数 y 0，所以，它的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例函数的性质 反比例函数 )0(  kxky k 的符号 k0 k0 图像 y O x y O x 性质 ① x的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0； ②当 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小。 ① x的取值范围是 x 0， y 的取值范围是 y 0； ②当 k0 时，函数图像的两个分支分别 在 第二 、 四 象限。 在每个象限内， y 随 x 的增大而 增大。 反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。 由于在反比例函数 xky 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数 )0(  kxky 图像上任一点 P 作 x轴、 y 轴的垂线 PM， PN，则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM PN= xyxy 。 kSkxyxky  ,。 第七章 二次函数 考点一、二次函数的概念和图像 二次函数的概念 一般地，如果 )0,(2  acbacbxaxy 是常数，那么 y 叫做 x 的二次函数。 )0,(2  acbacbxaxy 是常数，叫做二次函数的一般式。 二次函数的图像 ： 二次函数的图像是一条关于 abx 2 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向； ②有对称轴；③有顶点。 二次函数图像的画法 五点法： （ 1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴 （ 2）求抛物线 cbxaxy  2 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。 将这五个点按从左到右 的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 12 当抛物线与 x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C及对称点 D。 由 C、 M、 D 三点可粗略地画出二次函数的草图。 如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、 B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 考点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （ 1）一般式： )0,(2  acbacbxaxy 是常数， （ 2）顶点式： )0,()( 2  akhakhxay 是常数， （ 3）当抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 02  cbxax 有实根 1x 和 2x 存在时，根据 二次三项式的分解因式 ))(( 212 xxxxacbxax  ，二次函数 cbxaxy  2 可转化为两根式))(( 21 xxxxay 。 如果没有交点，则不能这样表示。 考点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）， 即当 abx 2 时，abacy 44 2最值。 如果自变量的取值范围是 21 xxx  ，那么，首先要看 ab2 是否在自变量取值范围 21 xxx  内，若在此范围内，则当 x= ab2 时， a bacy 44 2最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在 21 xxx  范围内的增减性，如果在此范围内， y 随 x的增大而增大，则当 2xx 时， cbxaxy  222最大 ，当 1xx  时， cbxaxy  121最小 ；如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小，则当 1xx 时， cbxaxy  121最大 ，当 2xx 时，cbxaxy  222最小。 考点四、二次函数的性质 二次函数的性质 函数 二次函数 ： )0,(2  acbacbxaxy 是常数， 图像 a0 a0 y 0 x y 0 x 性质 （ 1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （ 1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； 13 （ 2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac44 2）； （ 3）在对称轴的左侧，即当 xab2时， y 随 x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当xab2时， y 随 x的增大而增大，简记左减右增； （ 4）抛物线有最低点，当 x=ab2时， y 有最小值， a bacy 44 2最小值 （ 2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac44 2）； （ 3）在对称轴的左侧，即当 xab2时， y 随 x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当xab2时， y 随 x的增大而减小，简记左增右减； （ 4）抛物线有最高点，当 x=ab2时， y 有最大值， a bacy 44 2最大值 二次函数 )0,(2  acbacbxaxy 是常数，中， cb、a 的含义： a 表示开口方向： a 0 时，抛物线开口向上 ； a 0 时，抛物线开 口向下 b 与对称轴有关：对称轴为 x= ab2 c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标：（ 0， c ） 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x轴的交点坐标。 因此一元二次方程中的 ac4b2  ，在二次函数中表示图像与 x轴是否有交点。 当  0 时，图像与 x轴有两个交点；当  =0 时，图像与 x轴有一个交点；当  0 时，图像与 x轴没有交点。 补充： 两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点 A坐标为（ x1， y1）点 B 坐标为（ x2， y2） 则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度 为    221221 yyxx  函数平移规律 ： 左加右减、上加下减 第八章 图形的初步认识 考点一、直线、射线和线段 几何图形 ： 从实物中抽象出 来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 点、线、面、体 （ 1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （ 2）点动成线，线动成面，面动成体。 直线的概念 ： 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的 ，并且是向两方无限延伸的。 射线的概念 ： 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。 这个点叫做射线的端点。 14 线段的概念 ： 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。 这两个点叫做线段的端点。 点、 直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示。 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。 一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。 注意： （ 1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。 （ 2）直线和射线无长度，线段有长度。 （ 3）直线无端点，射线有一 个端点，线段有两个端点。 （ 4）点和直线的位置关系有线面两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 直线的性质 （ 1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。 它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。 （ 2）过一点的直线有无数条。 （ 3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （ 4）直线上有无穷多个点。 （ 5） 两条不同的。