导数的运算

导数的运算内容摘要：

8x. ∴ f(x)=6x28. ∵ g(x)=bx2+c 的图象也过点 P(2, 0), ∴ 4b+c=0. 又 g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16, ∴ b=4. ∴ c=16. ∴ F(x)=2x3+4x28x16. 综上所述 , 实数 a, b, c 的值分别为 8, 4, 16. ∴ 223+2a=0. ∴ f(2)=6228=16. (2)由 (1)知 f(x)=2x38x, g(x)=4x216. ∴ F(x)=6x2+8x8. 由 F(x)0 得 x2 或 x。 2 3 由 F(x)0 得 2x . 2 3 ∴ F(x) 的单调区间为 : (∞ , 2)、 (2, ) 和 ( , +∞ ), 2 3 2 3 (∞ , 2) 上是增函数 , 在 ( , +∞ )上也是增函数 . 2 3 2 3 并且 F(x) 在 (2, ) 上是减函数 , 在 典型例题 6 已知 a0, 函数 f(x)= , x(0, +∞ ), 设 0x1 . 记曲线 y=f(x) 在点 M(x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程。 (2)设 l 与 x轴的交点为 (x2, 0), 证明 : ① 0x2≤。 ② 若 x1 , 则 x1x2 . x 1ax 1 a 2 a 1 a 1 a (1)解 : f(x)=( a)=(x1) 1 x =x2= . 1 x2 ∴ 切线 l 的 方程为 y= (xx1)+ . x1 1ax1 1 x12 (2)证 : 依题意 , 在切线 l 的 方程中令 y=0, 得 x2=x1(1ax1)+x1=x1(2ax1), ∴ ax12, 其中 0x1 . 2 a ∴ 2ax10. 又 x10, ∴ x2=x1(2ax1)0. ① 当 x1= 时 , x2=a(x1 )2+ 取得最大值 , 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a ∴ 0x2≤ . ② 当 x1 时 , ax11, 1 a ∴ x2=x1(2ax1)x1. 又由 ① 知 x2 , 1 a 1 a ∴ x1x2 . 课后练习 1 求下列函数的导数 : (1)y= +。 (2)y=cos( x24)。 1+ x 1 1 x 1 1 2 (3)y=(sinx)cosx. 1x 2 解 : (1)∵ y= =2(1x)1, ∴ y=2(1x)2(1x) (2)y=sin( x24)( x24) 1 2 1 2 =xsin( x24). 1 2 (3)∵ y=(sinx)cosx=ecosxlnsinx, ∴ y=(ecosxlnsinx)。