函数的性质二

函数的性质二内容摘要：

－ 1，可得 f⑴ ＝ 1 令 x＝ y＝ 1得 f⑵ ＝ 2f⑴ ＋ 1＋ 1＝ 4 令 y＝ 1，得 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋ 2 即 f(x＋ 1)－ f(x)＝ x＋ 2 ① 当 x取任意正整数时， f(x＋ 1)－ f(x)＞ 0 又 f⑴ ＝ 1＞ 0所以 f(x)＞ 0 于是 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋ 2＞ x＋ 1 即对任意大于 1的正整数 t， f(t)＞ t 在①中，令 x＝－ 3，得 f(－ 3)＝－ 1， 进一步可得 f(－ 4)＝ 1 注意到 f(x)－ f(x＋ 1)＝－ (x＋ 2) 所以当 x≤ － 4时， f(x)－ f(x＋ 1)＞ 0 即 f(x)＞ f(x＋ 1)＞ f(x＋ 2)＞ …… ＞ f(－ 4)＝ 1 所以 x≤ － 4时， f(x)＞ x 综上所述，满足 f(a)＝ a的整数只有 a＝ 1或 a＝－ 2 例 f(x)是一个从实数集 R到 R的一个映射 ,对于任意的实数 x,都有 |f(x)|≤1, 并且 f(x)+ 求证 :f(x)是周期函数 . 证明：由已知 f(x)+ 所以 )421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f  ① (2) 于是 f(x＋ 1)－ f(x)＝ f(x＋ 2)－ f(x＋ 1)， 记这个差为 d 同理 f(x＋ 3)－ f(x＋ 2)＝ f(x＋ 2)－ f(x＋ 1)＝ d …… f(x＋ n＋ 1)－ f(x＋ n)＝ f(x＋ n)－ f(x＋ n－ 1) ＝ …… ＝ f(x＋ 1)－ f(x)＝ d 即是说数列 {f(x＋ n)}是一个以 f(x)为首项， d为公差的等差数列 因此 f(x＋ n)＝ f(x)＋ nd＝ f(x)＋ n[f(x＋ 1)－ f(x)]对所有的自然数 n成立，而对于 x∈R ， |f(x)|≤1 ，即 f(x)有界，故只有 f(x＋ 1)－ f(x)＝ 0 即 f(x＋ 1)＝ f(x) x∈R 所以 f(x)是周期为 1的周期函数 . 例 14 设 f (x)的定义域为 R， 其图像关于直线 x＝ 2 和 x＝ 0对称 ， 且 x[4， 6]时 ， f ( x )＝ 2 x + 1， 那么在区间 [－ 2， 0]上 ， f － 1( x )的解析式为 （ A） y＝ log2(x－ 4) （ B） y＝ 4－ log2(x－ 1) （ C） y＝ 4+log2(x－ 1) （ D） y＝－ log2(x－ 1) 【 分析 】 如何用好 x＝ 2， x＝ 0是图像对称轴这个条件 ， 并把两者综合而得新的性质。 这就要想到： y＝ f (x)图像关于 x＝ a对称  xR时有 f (x)＝ f (2a－ x) 【 解 】 ∵ y＝ f (x)的图像关于 x＝ 0 对称 ， ∴ f ( x )＝ f (－ x)， ∵ y＝ f (x)的图像关于 x＝ 2对称 ， ∴ f (－ x)＝ f (4+x)． 于是有 f ( x )＝ f (4+x) ∴ f ( x )是周期为 4的函数 ， 当－ 2≤x≤0时 ， 0≤－ x≤2且－ x + 4∈ [4， 6] ∵ y＝ f (x)的图像关于 x＝ 0对称 ， ∴ f (x)＝ f (－ x)． ∵ 周期为 4， ∴ f (－ x)＝ f (－ x+4)＝ 2－ x+4 +1 即在 [－ 2， 0]上 ， y＝ f (x)＝ 2－ x+4 +1 ∴ 2－ x+4＝ y－ 1 － x+4＝ log2(y－ 1) x＝ 4－ log2(y－ 1) ∴ [－ 2， 0] 上 ， f (x)＝ 4－ log2(x－ 1) 应选 （ B） ． {an}中， a1＝ a， a2＝ b，且 an＋ 2＝ an＋ 1－ an(n∈ N＋ ) ① 求 a100；②求 S100. 解：由已知 a1＝ a， a2＝ b，所以 a3＝ b－ a， a4＝－ a， a5＝－ b， a6＝ a－ b， a7＝ a， a8＝ b， …… 由此可知， {an}是以 6为周期的周期数列， 于是 a100＝ a6 16＋ 4＝ a4＝－ a 又注意到 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＝ 0 S100＝ a1＋ a2＋ a3＋ …… ＋ a96＋ a97＋ a98＋ a99＋ a100 ＝ 0＋ a97＋ a98＋ a99＋ a100 ＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4 ＝ a＋ b＋ (b－ a)＋ (－ a) ＝ 2b－ a f(x)的定义域为 N，且对任意正整数 x，。