中考压轴题的风韵

中考压轴题的风韵内容摘要：

①试判断以 PQ为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说明理由； ②以 PQ 为直径的圆与 y 轴的交点为 A 、 B ，若OAOB = 1 ，求直线 PQ 对应的函数解析式。 （ 2020年杨州市中考题） 略解（ 1）猜想： d1 = d 2 . 简证：设 P （ )是 上的任意一点， 则 0 ，所以 d 1 = y 0 ；由勾股定理得 ，而 ∴ （ 2 ） ①以 PQ为直径的圆与 x 轴相切（图 2）。 P 39。 Q 39。 图 2xyACBMFOQP 设 PQ的中心为 M ,分别 Q、 M、 P作 x 轴的垂线，垂足分别为 Q’ 、 C 、 P’。 易证 MC 为梯形 P Q Q’P’的中位线。 ∴ ∴ 以 PQ为直径的圆与 x 轴相切。 ②设直线 PQ 对应的函数解析式为 y =k x +b ，因为点 F（ 0， 2）在 PQ上，所以 b = 2 ,所以 y = k x + 2 . y =kx + 2, 联立 消去 y 得： x 2 4kx4=0 ( * ) 记点 P（ ）、 Q（ ），则 是方程 ( * )的两个实数根， ∴ . ∵⊙ M切 x 轴于点 C，与 y 轴交于点 A、 B ， ∴ OC 2 = OA 178。 OB =1, ∵OC 0 ,∴OC =1 , ∴ 点 C的坐标为 C（ 1， 0）或（ 1， 0），又点 C是线段 P39。 Q39。 的中点， 故当点 C坐标为（ 1， 0）时， X 0 1 =1 – X1 , ∴ X 0 + X 1 =2 ， 即 4 k =2 , ∴k =。 当点 C的坐标为（ 1， 0）时， X 0 （ 1） =（ 1） – X 1 ∴ X 0 + X 1 = 2 ， 即 4k =2 ,∴k =。 ∴ 所求直线 PQ对应的函数解析式为： 或 此类题型是以直角坐标系为载体，融函数、方程、几何为一体的探究性试题，注重在初中数学主干知识的交汇点进行命题，背景知识丰富，综合性强，解决本题，还需拥有数形结合思想、方程思想、分类思想。 二、 几何操作型压轴题备受青睐 所谓几何操作题，就是指利用指定的工具和材料，动手操作，自主探究，得出猜想，而后验证猜想，最终解决问题的一种题型。 例 2（ 2020年绍兴市中考题）已知 ∠ ABC=90176。 .OM 是∠ ABC的平分线，按以下要求解答问题： （ 1）将三角板的直角顶点 P在射线 OM上移动，两直角边分别与 OA、 OB交于点 C、 D。 ①在图 3（ 1）中，证明 PC = PD。 ② 在图 3（ 2）中，点 G是 CD与 OP的交点，且 求△ POD与△ PDG的面积比。 （ 1 ）MPDOCA（ 2 ）MPDOCAG（ 3 ）MBOA（ 2）将三角板的直角顶点 P放在射线 OM上移动，一直角边与边 OB交于点 D， OD = 1，另一直角边与直线OA、直线 OB分别交于点 C 、 E，使以 P 、 D、 E为顶点的三角形与△ OCD相似，在图 3（ 3）中作出图形，试求 OP的长。 略解（ 1）略。 （ 2）只要用三角板绕点 P（ P在 OM上是动点）按逆时针方向转动，并保持一条边始终与 OB相交于 D，则会发现另一边与 OA或 OA的反向延长线相交，易见， OP的长需分两种情形去求解。 当另一边与 OA相交时，如图 4， ∵∠ PDE ∠CDO , 又要使以 P、 D、 E为顶点的三角形与△ OCD相似， 图 4DEMPOCBA图 5MOPHGFE DCBA∴∠COD = ∠ PED, ∴CE = CD ∵ CO ⊥ DE, ∴OE = OD. ∴∠EPD = 90186。 , ∴OP = 当另一边与 OA的反向延长线相交时，如图 5， ∵∠ PED ∠ CDO , 要使以 P、 D、 E为顶点的三角形与△ OCD相似， ∴∠ PDE = ∠ODC, 过点 P作 PG ⊥ OB, PH ⊥ OA, 垂足分别为 G、 H。 设 OP = x ， ∵∠ AOB = 90176。 , OM为 ∠ AOB的平分线， ∴ PG = PH = OH = OG = . 此时，易证△ PCH ≌ △ PDG, CH =DG = 1 , PC = PD. ∵∠ CPD = 90176。 , ∴∠ PDE = ∠ ODC = 176。 , ∴∠ OCP = ∠ PDE = 176。 , ∴∠ OPC = 176。 , ∴ OC = OP = x , ∴ CH= OC + OH = X + , ∴ 1 = x + , ∴ X = 1 , ∴ OP = 1 . 综上所述， OP = 1 ,或 1 . 这道 题设计新颖，构思精巧，可谓独具匠心，通过对三角板的操作，探索图形中存在的变化规律，让学生亲身经历知识的发生、发展及应用的过程，有效地考查了学生发现问题和解决问题的能力，同时，也使学生在探索和解决问题的过程中感受到数学的美妙，领略了数学的魅力。 几何操作型压轴题备受青睐，如 04年江西省及大连市中考压轴题。 （ 04年江西省中考压轴题）如图 24，在矩形 ABCD中，AB=3， AD=2，点 E、 F分别在 AB、 CD上， AE=DF=2。 现把一块直径为 2的量角器（圆心为 O）放置在图形上，使其 0176。 线 MN与 EF重合；若将量角器 0176。 线上的端点 N固定在点 F上，在把量角器绕点 F顺时针方向旋转 ∠ α（ 0176。 α90176。 ），此时量角器的半圆弧与 EF相交于点 P，设点 P处量角器的读数为 n176。 (1)用含 n176。 的代数式表示 ∠ α 的大小 (2)当 n176。 等于多少时，线段 PC与 MˊF 平行。 （ 3）在量角器的旋转过程中，过点 Mˊ 作 GH⊥MˊF ， 交 AE于点 G，交 AD于点 H。 设 GE =x， Δ AGH的面积为 S，试 求出 S关于 x的函数关系式， 并写出自变量 x的取值范围。 （ 04年大连市中考压轴题） 如图， ⊙ O1 和 ⊙ O2内切于点 P， C是 ⊙ O1上任一点（与点 P不重合）。 实验操作：将直 角三角形的直角顶点放在点 C。