研究生入学考试]哈工程信号与系统本科生作业全附详细答案

研究生入学考试]哈工程信号与系统本科生作业全附详细答案内容摘要：

utetr  ； （ 4） )1()( tetr  ； （ 5） )2()( tetr  ； （ 6） )()( 2 tetr  ； （ 7）  detr t )()(； （ 8）  detr t 5 )()(。 解 （ 1）由于 dttdetrtedttdetrte)()()()()()(222111 而 dt tdeCtrdt tdeCtrCtrCteCteC )()()()()()()( 2221122112211  所以系统是线性的。 当 dt tdetrte )()()(  ，而激励为 )( 0tte  时，响应为 )()( )()( 0000 ttrttd ttdedt ttde  所以系统是时不变的。 由 dttdetr )()(  可知，响应 )(tr 只与此时的输入 )(te 有关，与这之前或之后的输入都无关，所以系统是因果的。 （ 2）由于 )()()()( )()()()( 222 111 tutetrte tutetrte   而 )()()()()()()()( 221122112211 trCtrCtuteCtuteCteCteC  所以系统是线性的。 由于当 )1()1()(1  tutute 时， )1()()(1  tututr 而 )2()()1()( 12  tututete 时， )1()2()()( 12  trtututr ， 即当激励延迟 1个单 位时，响应并未延迟相同的时间单位，所以系统是时变的。 由 )()()( tutetr  可知，系统只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。 （ 3）由于 )()](s in [)()( )()](s in [)()( 222 111 tutetrte tutetrte   而   )()](s in [)()](s in [)()( )()()()(s in)()()(2211221122112211 tuteCtuteCtrCtrC tuteCtuteCtrteCteC   所以系统是非线性的。 当激励为 )( 01 tte  时，响应 )()()](s in [)()](s in [)( 00011 ttrttuttetutetr  所以系统是时变的。 由 )()](sin[)( tutetr  可知，响应只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。 （ 4）由于 )1()()( )1()()( 222 111 tetrte tetrte   而 )()()1()1()()()( 221122112211 trCtrCteCteCtrteCteC  所以系统是线性的。 由于当 )()()(1  tutute 时， )1()()(1  tututr 而当 )2()()()( 12  tututete 时，)()()1()( 12  trtututr 所以系统是时变的。 令 )1()( tetr  中 0t ，则有，说 )1()0( er  明响应取决于将来值（ 0时刻输出取决于 1时刻输入），所以系统是非因果的。 （ 5）由于 )2()()( )2()()( 222 111 tetrte tetrte   而 )()( )2()2()()( 2211 22112211 trCtrC teCteCteCteC   所以系统是线性的 由于当 )1()()(1  tutute 时， )()()(1  tututr 而当 )2()1()1()( 12  tututete )1()1()()( 12  trtututr 所以系统是时变的。 对于 )2()( tetr  ，令 1t ，有 )2()1( er  ，即响应先发生，激励后出现，所以系统是非因果的。 （ 6）由于 )()()( )()()( 22222111tetrte tetrte   而  )()( )()()()()(2211222112211trCtrC teCteCtrteCteC   所以系统是非线性的。 由于 )()()( 2111 tetrte  )()()()()( 010212020 ttrttetrttete  所以系统是时不变的。 由 )()( 2 tetr  知，输出只与现在的输入值有关，所以系统是因果的。 （ 7）由于 detrtedetrtett)()()()()()(222111 而)()()()()()(221122112211trCtrCdeCdeCteCteC tt    所以系统是线性的。 由于 )()()()(000 00 ttrdaaedtrtte t ttat      所以系统是时不变的。 由  detr t )()(可知， t时刻的输出只与 t时 刻以及 t时刻之前的输入有关，所以系统是因果的。 （ 8）由于 detrtedetrtett52225111)()()()()()( 而)()())()()()()()(2211522511522112211trCtrCdeCdeCdeCeCteCteC ttt    所以系统是线性的。 由于 )()()()()(0)(555 00 00 ttrdaaedaaedtette tttatt      所以系统是时变的 对于  detr t 5 )()(，令 1t ，有  der  5 )()1( 即输出与未来时刻的输入有关，所以系统是非因果的。 121 判断下列系统是否是可逆的。 若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该系统产生系统输出的 两个输入信号。 （ 1） )5()(  tetr ； （ 2） )()( tedtdtr  ； （ 3）  detr t )()(； （ 4） )2()( tetr 。 解 （ 1）该系统可逆，且其逆系统为 )5()(  tetr （ 2）该系统不可逆，因为当， ,)()( 2211 CteCte  ， （ 21 CC 且均为常数）时，)()( 21 trtr  ，即不同的激励产生相同的响应，所以系统不可逆。 （ 3） 该系统可逆。 因为微分运算与积分运算式互逆的运算，所以其逆系统为)()( tedtdtr 。 （ 4）该系统可逆，且其逆系统为 )2()( tetr 。 122 若输入信号为，为使输出信号中分别包含以下频率成分： （ 1） )2cos( 0t ； （ 2） )3cos( 0t ； （ 3）直流。 请你分别设计相应的系统（尽可能简单的）满足此要求，给出系统输出与输入的约束关系式。 讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。 解 （ 1）若系统的输入、输 出具有约数关系 )2()( tetr  则当此系统的输入信号为 )cos( 0t 时，输出信号中会包含 )2cos( 0t。 （ 2）若系统的输入、输出具有约数关系 )3()( tetr  则当此系统的输入信号为 )cos( 0t 时，输出信号中会包含 )3cos( 0t。 （ 3）若系统的输入、输出具有约数关系 Ctetr  )()( （ C 为非零 常数） 则当此系统的输入信号为 )cos( 0t 时，输出信号中会包含直流成分。 三个小题中，输入信号均为 )cos( 0t ，而输出信号中分别包含 )2cos( 0t ， )3cos( 0t和直流频率成分，说明新的频率分量产生，也就是说信号 )cos( 0t 经系统传输后，产生了新的频率成分，此为三种要求的共同性。 因此在设计系统中，要考虑改变输入信号的频率或增加新的频率成分，此为三个系统的共性。 123 有一线性时不变系统，当激励 )()(1 tute  时，响应 )()(1 tuetr at ，试求当激励 )()(1 tte  时，相应的响应 )(2tr 表达式。 （假定起始时刻系统无储能。 ） 解 因为起始时刻系统无储能，所以响应就是零状态响应。 有 LTI系统的微分性质，即若当激励为 )(te 时产生的响应为 )(tr ，则当激励为 dttde)(时产生的响应为 dttdr)( ，有 )()()()()]([)()()()()()()(2211tuaettetuaedt tuedtrttetuetrtuteatatatatat 21 对图 21 所示电路分别列写求电压 )(0tv 的微分方程表示。 )(1 ti )(2 ti1 F1 Ω1 H2 H2 Ω )( te+)( tv o（ a ）+（ c ）+C )(1 tv)(ti 1R+)(1 tv 1L 1C )( tv o+)(e+C LLCRR)( tv o+MR（ c ）)te++)(1 tvCR )( tvo+)(1 tv+（ d ）图 2 1解 （ a）对于图 21（ a）所示电路列写网孔电流方程，得    tt ttvidiitedididt tdii)()()()()()()()(202122111 又 dt tditv )(2)( 20  消元可得如下微分方程： )(3)(5)(5)(2 00022033 tvtvdtdtvdtdtvdtd  =2 )(tedtd （ b）对于图 21（ b）所示的双耦合电路，列写电路微分方程，得 )()(0)()()()(1)()()()()(10221221211tvtRitRidttdiMdttdiLdiCtetRidttdiMdttdiLdiCtt 消元可得如下微分方程： )()(1)(2)(2)(2)()(22020202203304422tedtdMRtvCtvdtdCRtvdtdRRLtvdtdRLtvdtdML  （ c）对于图 21（ c）所示电路列写电路方程，得    )()()(1)()()()(10101011tvtvdtdCdttvLRtvRtvtvdtdCtit  消元可得如下微分方程： )()(1)(1)()(101011022110331 tidtdRtvRLtvdtdRRLCtvdtdRCRCtvdtdCC    （ d）对图 21（ d）所示电路列写电路方程，电流 )(ti 如图 22 所示，得  )()()()()()()()(1)(1011tvtvtetvtRitetvdiCtRi t 消元可得如下微分方程： )(te++)(1 tvCR )(tvo+)(1 tv+图 2 2)(ti)()(1)()1( 00 teRtvRtvdtdC   22 图 23 所示为理想火箭推动器模型。 火箭质 量为 1m ，荷载舱质量为 2m ，两者之间用钢度系数为 k 的弹簧相连接。 火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分别为 1f 和 2f。 求 火箭推进力 )(te 与荷载舱运动速度 )(2tv 之间的微分方程表。