20xx全国数学建模比赛获奖论文

20xx全国数学建模比赛获奖论文内容摘要：

的视角来分析、确定高等院校收费水平的问题，这就是高校收费水平确定的博弈分析方法；同时我们提出对于“政府、学校、个人”三方所确定的纳什平衡体系作为原学费制定体系的评价模型。 3) 新学费制定体系的分析 通过高等教育收费的评价体系和现有学费制定体系的缺陷，需要对现有的学费体 系进行改革，提出新的学费体系以满足现实的需求。 例如考虑到低收入家庭的支付能力，大学生的预期个人收益等等。 所以新学费体系的制定是必要的。 4) 新体系仿真的分析 分析了影响收费的因素，最终分析、统计出各个因素数字表达以及各高校学费标准，进 而 要了解这些因素对学费影响的程度，以此为参考来制定收费指导政策。 但是，要想准确真实地反映各个因素与收费的关系，最有效的方法就是对 学费体系进行仿真 ，通过仿真 的方式得到其对应的关系从 而 找到它们内在的变化规律，这样才会不为表面现象所迷惑，制定出切实可行的指导方针与政策。 6 5) 资助体系的 重 构分析 收费制度的实施 ,要求高校学生资助体系发生根本性的变革 ,以适应新的形势 ,保障那些经济困难的学生顺利完成学业。 近几年 学校的 资助体系保持相对稳定，但学费的偏高依然促使学校及政府的资助体系将发生变化，我们 需要 在分析原有学费制定体系及资助体系缺陷 和新学费体系建立 的基础下， 对 高校贫困学生资助体系 进行重构。 建模思路图 下面的思路流程图是我们文章结构的一个缩影，它将完整而形象的反应我们文章的建模思路。 现 有 高 校收 费 模 型挖 掘新 高 校 收费 模 型B P 神 经 网络 仿 真新 收 费 模型 的 执 行纳什均衡现 有 数 据采 集给 相 关 部门 建 议贫 困 生 资 助体 系 重 构评 价 现 有 收 费 模 型给 出 新 收 费 模 型博弈论 分 析进 一 步 讨论 与 改 进科 学 性 与现 实 意 义模 型 的 评 价 与 推 广学 费 制 定 原 则差 分 进 化 法 图 21 建模思路图 3 模型假设 [1] 假设各个学校各个专业生均教育成本和收益率能够较为科学地计算。 [2] 假设不考虑物价涨幅对学费的影响。 [3] 假设从各年年鉴及其它数据资料中收集的数据均为实际真实数据，均能反映相应指标情况； [4] 假设 资助体系中只包含“奖、贷、勤、补、减”等五种方式 ， 其余的不具代表性可以不予考虑； [5] 假设中国高等教育 经费 仅 由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等 四 部分组成 ； 7 4 符号系统 为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如 表 41 符号说明一览表 所示 ， 其它一些变量将在文中陆续说明。 表 41 符号说明一览表 主要符号 单位 符号意义 C 元 生均教育成本 M 元 教育投入总成本 N 个 全国大学生总数 G 元 人均 GDP B 百分比 公共高校教育经费占 GDP 百分比 m 元 标准学费 F 元 实际学费 5 现有高等教育学费模型的挖掘与分析 确定学费标准的基本因素 1) 生均教育成本 生均教育成本即生均培养成本，指平均每名在校生所分担的教育费用。 它是 教育成本的综合指标之一。 大学生 收费的首要依据是培养一名 大学生 所花费的生均成本， 它 是确定 大学生 收费标准的主要的成本因素。 生均教育成本 C 公式 为： MC N 其中 M 为教育投入总成本 ， N 为全国大学生总数。 2) 人均 GDP 学费的标准还受到大学生家庭收入的影响。 过高的学费会使很多学生无力支付， 即要考虑到贫困生的问题。 人均 GDP 可以体现中国总体的家庭收入情况，因此也构成了确定大学生收费标准的主要因素之一。 3) 公共 高校 教育经费 占 GDP 百分比 在教育投资的国际比较中，公共 高校 教育经费 占 GDP百分比是一个公认的评价指标。 在我国 ，公共 高校 教育经费支出是指 国家财政性教育经费 在高校的 支出。 高等教育由于自身的性质，国家对于其投入只是公共教育经费中的一部分。 高校作 为培养社会所需高级人才和 提供科研成果的非营利性组织，政府的拨款 是其资金的重要来源。 高等教育收费是国家、地方政府对高等教育的不完全补偿。 在我国，在 大学生 收费构成中，个人只 8 承担了成本的一部分，剩下的应该是由政府进行主要投入补偿的，这部分的大小直接关系到最终收费的多少。 对高校自身来说，如果自身运行成本不变，国家、地方政府投入比重增加，相应的学费的标准就应该是降低的。 因此，公共 高校 教育经费 占 GDP 百分比也是影响收费多少的重要因素。 现有高等教育学费模型的建立 为了确定学费与生均教育成本、人均 GDP、 公共 高校 教育经费 占 GDP百分比的关系 ，必须先得到现有的实际学 费 F。 根据陈雄的《学费收取标准的计算公式》 对学费进行计算得到  下面我们就可以对各因素和学费 的关系建立多元线性回归方程模型。 得出学费随着GDP 的增长，生均教育经费投入的增长，教育经费投入占 GDP 的比例的增长的关系。 首先利用软件 Excel 对 1996 年到 2020 年的 生均实际学费、教育经费占 GDP 的比例、人均 GDP、生均教育成本进行整理，如 表 51 所示 表 51 生均实际学费及其相关因素表 年份 生均实际学费（元 /人） 公共高校教育经费占 GDP百分比 （ %） 人均 GDP （元 /人） 生均教育成本（元 /人） 1996 1997 1998 1999 2020 2020 2020 2020 2020 2020 根据 表一的数据 ，我们建立多元线性回归模型如下： 1 2 3 4F a B a G a C a      （式 ） 其中 1 2 3 4, , ,a a a a 为待估参数。 模型的求解 为了求解 （式 ） 我们利用差分进化算法对该模型求解，具体过程如下： 1) 算法描述 差分进化算法 是一个自组织最小化方法，用户只需很少的输入，它的关键思想与传统 ES不同。 传统方法是用预先确定的概率分布函数决定向量扰动，而 差分进化算法 的自组织程序利用种群中两个随机选择的不同向量来干扰一个现有向量，种群中的每一个向 9 量都要进行干扰。 如果新向量对应函数值的代价比它们的前辈代价小，它们将取代其前辈。 差分进化算法 利用一个向 量种群，其中种群向量的随机扰动可独立进行，因此是固有并行的。 差分进化算法 同其它进化算法一样，也是对候选解的种群进行操作， 差分进化算法的自参考种群繁殖方案与其它进化算法不同，它通过把种群中两个成员之间的加权差向量加到第三个成员上来产生新参数向量，该操作称为“变异”。 然后将变异向量的参数与另外预先确定的目标向量参数按一定规则混合来产生试验向量，该操作称为“交叉”。 若试验向量的代价函数比目标向量的代价函数低，试验向量就在下一代中代替目标向量。 最后的操作称为“选择”，种群中所有成员必须被作为目标向量这样操作一次， 以便在下一代中出现相同个竞争者。 在进化过程中对每一代都评价最佳参数向量，以记录最小化过程，这样利用随机偏差扰动产生新个体的方式可以获得一个有非常好收敛性的结果。 2) 算法流程 图 51 差分进化算法 算法流程 图 3) .算法流程说明 (1)初始化 差分进化算法 利用 NP个维数为 D的实数值参数向量作为每一代的种群，每个个体 表示为： , ( 1, 2, , )iGx i NP 式中： i ： 表示个体在种群中的序列； G ：表示 进化代数； NP ：表示 种群规模在最小化过程中 NP 保持不变。 为了建立优化搜索的初始点，种群必须被初始化。 通常寻找初始种群的一个方法是从给定边界约束内的值中随机选择。 在 差分进化算法 研究中，一般假定对所有随机初始化种群均符合均匀概率分布。 设参数变量的界限为： ( ) ( )LUj j jx x x ，则： 参数设置 初始化 变异交叉取整 自然选择 结束条件 否 结果输出 是 10 ( ) ( ) ( ),0 r a nd [ 0, 1] ( ) +U L Lji j j jx x x x   ( 1 , 2 , ,。 1 , 3 , , )i N P j D 式中： rand[0,1] 在 [0,1] 之间产生的均匀随机数。 如果预先可以得到问题的初步解，初始种群也可以通过对初步解加入正态分布随机偏差来产生，这样可以提高重建效果。 (2)变异 对于每个目标向量 ， 1,2, ,i NP ，基本 差分进化 算法 的变异向量如下产生：1 2 3,1 ()i G r G r G r Gv x F x x       其中，随机选择的序号 1 2 3, r r r和 互不相同，且 1 2 3, r r r和 与目标向量序号 i 也应不同，所以须满足 4NP。 变异算子 [0,2]F 是一个实常数因数，控制偏差变量的放大作用。 (3)交叉 为了增加干扰参数向量的多样性，引入交叉操作。 则试验向量变为： , 1 1 , 1 2 , 1 , 1( , , , )i G i G i G D i Gu u u u    ( 1 , 2 , ,。 1 , 3 , , )i N P j D 式中 ,产生 [0,1] 之间随机数发生器的第 j 个估计值； rand ( ) 1,2, ,Drj  一个随机选择的序列，用它来确保 ,1iGu 至少从 ,1iGv 获得一个参数； CR 交叉算子，取值范围为 [0,1]。 (4)选择 为决定试验向量,1iGu ，是否会成为下代中的成员， 差分进化算法 按照贪婪准则将试 验向量与当前种群中的目标向量,iGx 进行比较。 如果目标函数要被最小化，那么具有较小目标函数值的向量将在下一代种群中赢得一席地位。 下一代中的所有个体都比当前种群的对应个体更佳或者至少一样好。 注意在 差分进化算法 选择程序中试验向量只与一个个体相比较，而不是与现有种群中的所有个体相比较。 (5)边界条件的处理 在有边界约束的问题中，确保产生新个体的参数值位于问题的可行域中是必要的，一个简单方法是将不符合边界约束的新个体用在可行域中随机产生的参数向量代替。 即：若 (),1 Lji G jux 或 (),1 Uji G jux ，那么 ( ) ( ) ( ),1 r a n d [ 0 ,1 ] ( ) +U L Lji G j j j ju x x x    ( 1 , 2 , ,。 1 , 3 , , )i N P j D 4) 差分进化算法 的实现 利用软 件 lstopt（代码见）得到如下结果 ： B G C       模型误差检验 迭代数 : 594 计算用时 (时 :分 :秒 :微秒 ): 00:00:00:219 优化算法 : 改进差分进化算法 计算结束原因 : 达到收敛判断标准 均方差 (RMSE): 残差平方和 (SSE): ,1,1,1i f ( r a nd ( ) ) or r nb ( ) i f ( r a nd ( ) ) or j r nb ( )ji Gji G ji Gv b j C R j r iu x b j C R r i    11 相关系数 (R): 相关系数之平方 (R^2): 决定系数 (DC): 卡方系数 (ChiSquare): F 统计 (FStatistic): 从模型的检验可以看出模型 I 建立得 非常合理，尤其是相关系数几乎达到了 1，进一步说明了模型求解的正确性。 现有高等教育学费模型 的定量 分析 因素的定量分析 为了分析各个因素对学费的影响，必须对各个因素进行深入的研究。 首先对 高校教育经费占 GDP 百分比 B 进行研究。 从 模型 I 的 结果 可以 看出： 高校教育经费占 GDP 百分比 每增加 1 %，学费增加 937 元；人均 GDP 每增加 1000 元，学费增加 320 元。 从 图 11分析也可以看出，该结果 是 符合客观情况。 因为实际均生学费增加占人均 GDP 的增加的比例偏大，达到了 40%以上。 1996 1997 1998 1999 2020 2020 2020 2020 2020 20200 . 3 90 . 40 . 4 10 . 4 20 . 4 30 . 4 40 . 4 50 . 4 60 . 4 70 . 4 80 . 4 9时间实际生均学费占人均GDP百分比 图 52 实际生均学费占人均 GDP百分。