板料成形技术

板料成形技术内容摘要：

增量 U 如下： U ＝ Ut － U ＝ tV ＋    2221 tA t    /2 (224) 由于全量和增量拉格朗日列式法可以统一写成： M At ＋ K U ＝ Rt ＋ stR (225) 将 (224)代入 (225)得： M At ＋ K tV ＋ K    2221 tA t    /2＝ Rt ＋ stR (226) 整理得： [M ＋   2t K ]At =Rt K tV － K   A21  2t /2＋ stR (227) 令等效质量矩阵 M~ 和等效节点力向量 Rt~ 为 M~ =M ＋   2t K (228) Rt~ =Rt K tV － K   A21  2t /2 (229) 则有： M~ At ＝ Rt~ ＋ stR (230) 由于 stR 可以表示为 At 的函数，即 stR ＝ AQtA ＋ AR ，则： （ M~ － AQ ） At ＝ Rt~ ＋ AR (231) 当加速度从 (231)得出后便可从方程式 (222)和 (223)中计算出位移和速度。 应当指出，无论实现求出加速 度，还是先求出位移，都会遇到系数矩阵为变量的情况。 这是因为在非线性问题中，刚度矩阵是系统位移和变形的函数， 12 需要用迭代的方法加以解决。 最终，收敛的条件有不同的表现形式。 以能量为判据的收敛条件表示为： )1()1()1()()( ffeIfIf LRULRU   (232) 式中 )(IfR 表示方程右边在第 I 次迭代时的量， )1(fL 表示方程左边在第 I 次迭代时的量， e 表示给 定的收敛控制值， U 表示相邻两次迭代所得的位移差： U ＝ )(IU － )1(IU (233) 收敛条件也可以用不平衡力为判据来表示： )1()1()()( ffeIfIf LRLR   (234) 隐式算法的收敛问题是一个十分重要的问题，但很复杂。 对于一个给定的问题，应用 什么样的收敛判据，给多大的收敛控制值，都比较难确定。 对于冲压成形这种复杂的非线性问题来说，隐式算法常常无能为力。 这就是显式算法在成形加载过程计算中优于隐式算法的一个原因。 板壳理论 在冲压成形分析中使用的最为普遍及有效的有两种壳单元，即 HughesLiu和 BelytschkoTsay（ BT）单元。 考虑到研究模拟内容是以 BT 壳单元为模拟单元，因为 BT 壳单元是 DYNAFORM 缺省的单元公式，它采用面内单点积分，对大变形问题是最稳定和有效的公式，另外，采用 Corotational 应力更新，单元坐标 系统置于单元中心，基于平面单元假定，所以对于翘曲的几何体不适用。 因此仅就 BT 壳单元有限元理论加以研究。 HughesLiu 壳单元是退化的壳单元公式，因而可以适应任意复杂外形，并具有较高的计算精度。 但是，由于单元公式比较复杂，计算量较大，在求解大型复杂薄板成形问题时需要较长的计算时间，而 BT 壳单元则是用于显式计算的一种更为有效的单元。 1. 随动坐标系 对于每一个单元，定义一个局部的随动坐标系。 该坐标系随单元一起运动，其基底（ 234。 1， 234。 2， 234。 3）由下式定义： 234。 3＝ r31r 42/|r31r 42| (235) S1=r21(r21234。 3)234。 3 (236) 234。 1=S1/|S1|， 234。 2=234。 3234。 1 (237) 注意， 234。 3 总是垂直于参考面，当单元的四个节点共面时， 234。 3 的方向与“厚度”方向 l 重合，当壳体变形时，实际的“厚度”方向与 234。 3 之间存在一个角度，在BT 单元中，假定该角度很小，即下式成立： 13 |234。 3l－ 1|δ (238) 对大多数弹塑性工程计算问题，取 σ≈ 102 2. 应变位移关系 BT 壳单元采用 Mindlin 板壳理论，壳体中任意一点的速度可写为： V= Vm－ Ź234。 3 Q (239) 其中 Vm 为参考面上的速度， Q 为角速度， Ź为沿厚度方向的距离。 3．有限元方程 由标准的有限元离散，可得有限元方程为： intffvM ext  (240) 其中 M 为质量矩阵， extf 为外力矢量， intf 为内力矢量，单元内力为： eeemff (241) 由虚功原理，可得：  ev TeITeIeITeIeITeIeITeI dvdfvmQfvmQ  ˆˆˆˆˆˆ (242) 其中 Tdˆ ＝  2313122211 ˆ2,ˆ2,ˆ2,ˆ,ˆ ddddd (243) ˆ ＝  2313122211 ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ  T (244) eIf ＝  III fff 321 , T (245) eIm ＝  III mmm 321 , T (246) 对于四节点双线性壳体单元，并采用单点积分，即在一个单元内，弯矩 eIm和膜力 eIf 只计算一次，对于弹塑性材料，沿厚度方向可取 5～ 7 个几分点。 根据有限元插值，有：  IIIImmmxxxNxxx321321, （ I＝ 1， 4） (247) 其中（ Ix1 ， Ix2 ， Ix3 ）为节点坐标， IN 为插值函数： 1N ＝（ 1－  ）（ 1－  ） /4 2N ＝（ 1＋  ）（ 1－  ） /4 3N ＝（ 1＋  ）（ 1＋  ） /4 4N ＝（ 1－  ）（ 1＋  ） /4 （ 248) 参考面上的速度和角速度由相同的插值函数进行插值：   IIm VNV  , (249)   II QNQ  , (250) 14 由上述公式，可以求得单元中心处  0,0   的速度应变的具体表达式： IIII QBxVBd 2131111 ˆˆˆ  IIII QBxVBd 1232222 ˆˆˆ  )(ˆˆˆˆ2 11223211212 IIIIIIII QBQBxVBVBd  IIII QNVBd 23113 ˆˆ2  IIII QNVBd 13223 ˆˆ2  其中 11 ˆxNB II  22 ˆxNB II  (251) 单元节点内力的具体表达式为： )( 122111 fBfBAf III  )( 121222 fBfBAf III  )( 2321313 fBfBkAf III  )4( 23121221 fkmBmBAm III  )4( 13122112 fkmBmBAm III  03 Im (252) 其中 A 为单元面积， k 为剪切修正系数：  3ˆˆ xdf    33 ˆˆˆ xdxm    3,2,1,  (253) 接触问题 一般情况下 ,板料的成形实际上是在冲头运动的过程中完成的。 随着冲头的运动，冲头和模具表面因和板料接触而对板料施加的作用力是板料得以成形的动力。 在接触过程中，板料的变形和接触边界的摩擦作用使得部分边界条件随加载过程而变化，从而导致了边界条件的非线性。 正确地处理边界的接触和 摩擦是得到可信分析结果的一个关键因素。 接触力计算 接触力计算基本算法有两种，一种是罚函数法，另一种是拉格朗日乘子法。 在罚函数法中位于一个接触面上的接触点允许穿透与之相接触的另一个接触面，接触力地大小与穿透量成正比，即 : Sfn  (254) 15 式中 α 是罚因子， S 是接触点的法向穿透量，负号表示接触力与穿透方向相反。 罚因子的取值过小会影响精度，过大会降低计算的稳定性，在实际计算时要认真选取。 在拉格朗日乘子 法中，接触力是作为附加自由度来考虑的，其泛函形式除了包含有通常的能量部分外还附加了拉格朗日乘子项：    DQuFuKuuu TTT 021,   (255) 式中 u 是结点位移向量， K 为刚度矩阵， F 为结点力向量，  是拉格朗日乘子向量，  DQuD 0 为接触点的穿透量向量。 对 能量泛函式变分，建立有限元方程：  DFuQ QK T 00  (256) 求解方程即可得到结点位移和拉格朗日乘子，拉格朗日乘子的分量即为接触点处的法向接触力。 拉格朗日乘子法是在能量泛函极小的意义上满足接触点互不穿透的边界条件，它增加了系统的自由度，需要采用迭代算法来求解方程，一般适用于静态隐式算法。 在显式算法中，一般采用罚函数法。 这种方法即考虑了接触力，又不增加系统的自由度，计算效率较高。 摩擦的处理 摩擦力的准确计算对板料成形分 析十分重要 ,目前常用的摩擦定律还是基于经典的库仑摩擦定律 ,只是为了数值计算的稳定性作了一些修正。 由经典库仑摩擦定律可知，当两接触物体间的切向摩擦力 ft 小于临界值 ftc时，两接触面间的相对滑移 ut =0，而当 ft = ftc 时，相对滑移是不定的，需由外界载荷和约束条件确定。 按照经典摩擦定律计算的摩擦力为： tff nt  (257) 式中  是摩擦系数， fn 是接触点的法向接触力， t 是相对滑动方向上的切向单位向量 : rrvvt  (258) rv 是相对滑动速度向量。 由于在板料成形分析中，某些局部的相对速度很小或相对速度方向发生突变、接触状态由粘着到滑动或相反的变化将导致按式（ 257）计算得到摩擦力大小和方向突变，从而引起计算的不稳定。 目前一般通过引入光顺函数来修正库仑摩擦定律，可用的光顺函数有反正切函数和双曲正 切函数，可得到以下修正的库仑摩擦定律： 16 tvvar c t gffcrnt    2 (259) tvvtanhffcrnt    (260) 式中 cv 是一个给定的相对滑动速度，它的大小决定了修正的摩擦模型和原模型的相近程度。 太大的 cv 导致有效摩擦力数值的降低，但使迭代相对容易收敛，而太小的 cv 虽然能够较好模拟摩擦力的突变，但使求解的稳定性下降。 修正的摩擦模型式（ 259）和（ 260）近似如图 所示。 经典的库仑摩擦定律是从最初适用的刚体一般化到变形体，是在遵循“切向力到达某一临界值时，接触表面才会在局部产生滑移”这一假设的前提下应用的。 尽管这一假设在一定的情况下有效，但严格地说它是不成立的。 实验发现，只要有切向力存在，两接触表面就会产生滑移，据此，研究人员又提出了一些非线性的摩擦定律。 但是这些摩擦模型有的过于复杂，有的一些系数很难通过实验得到，使用的较少。 本章小结 本 章主要从有限元理论上对板料成形进行描述，通过数学方法，将板料成形中的三大非线性问题数值逼近和简化。 在这些理论研究上，应用于板料成形的有限元理论很多，在计算机编程中，得到广泛引用的主要有两大方面，即显式动力算法和隐式算法，前者主要用于冲击大变形分析，后者主要。