基于小波变换的图像融合算法研究毕业论文

基于小波变换的图像融合算法研究毕业论文内容摘要：

移，设其伸缩因子 (又称尺度因子 )为 a，平移因子为  ，令其平移伸缩后的函数为 )(, ta ，则有   Raatata      ,0,2/1, (21) 称 )(, ta 为依赖于参数 ,a 的小波基函数，由于尺度因子 a、平移因子  是取连续变化的 值，因此称 )(, ta 为连续小波基函数。 它们是由同一母函数)(t 经伸缩和平移后得到的一组函数系列。 定义小波母函数 )(t 窗口宽度为 t ，窗口中心为 0t ，则相应可求得连续小波 )(, ta 的窗口中心为  0, atta ，窗口宽度为 tata  ,。 同样，设  为 )(t 的傅立叶变换，其频域窗口中心为 0 ，窗口宽度为  ，设 )(, ta 的傅立叶变换为)(, a ，则有      aea ja  21, (22) 所以， 其频域窗口中心为0, 1  aa  窗口宽度为   aa 1, 可见，连续小波 )(, ta 的时、频域窗口中心及宽度均随尺度 a 的变化而伸缩，若我们称 t 为窗口函数的窗口面积，由于   tatat aa 1, (23) 哈尔滨理工大学学士学位论文 8 所以连续小波基函数的窗口面积不随参数 ,a 而 变。 这正是海森堡测不准原理证明的： t 大小是相互制约的，乘积21 t，且只有当)(t 为 Gaussian 函数时，等式才成立。 由此可得到如下几点结论： (1)尺度的倒数a1在一定意义上对应于频率  ，即尺度越小，对应频率越高，尺度越大，对应频率越低。 如果我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度信号为短时间信号，大 尺度信号为长时间信号； (2)在任何  值上，小波的时、频窗口的大小 t 和  都随频率  (或者a1 )的变化而变化。 这是与 STFT 的基的不同之处； (3)在任何尺度 a 、时间  上，窗口面积 t 保持不变，也即时间、尺度分辨率是相互制约的不可能同时提的很高； (4)由于小波母函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作是一组带通滤波器。 通常将通带宽度与中心频率的比值称为带通滤波器的品质因数，通过计算可以发现，小波基函数作为带通滤波器，其品质因数不随尺度 a 而变化，是一组频率特性等 Q 的带通滤波器组 [6]。 连续小波变换 将任意 RL2 空间中的 函数 )(tf 在小波基下进行展开，称这种展开为函数 )(tf 的连续小波变换 (Continue Wavelet Transform,简记为 CWT)，其表达式为   dtattfattfaWT Raf      )(1),(),( , (24) 由 CWT 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换，同傅立叶变换相似，称  ,aWTf 为小波变换系数。 由于小波基不同于傅立叶基，因此小波变换和傅立 叶变换有许多不同之处。 其中最重要的是，小波基具有尺度 a、平移  两个参数。 因此，将函数在小波基下展开就意味着将一个时间函数投影到二维的时间 尺度相平面上。 并且，由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。 与 STFT 不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法。 当分析低频 (对应大尺度 )信号时，其时间窗很大，而当分析高频 (对应小尺度 )信号时，其时间窗减小。 这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间较长的规律 [7]。 哈尔滨理工大学学士学位论文 9 离散小波变换 由连续小波的概念知道，在连续变化的尺度 a 及时间  值下，小波基函数 )(, ta 具有很大的相关性，体现在不同点上的 CWT 系数满足重建核方程，因此信号 tf 的连续小波变换系数  ,aWTf 的信息量是冗余的。 虽然在某些情况下，其冗余性是有益的 (例如在去噪，进行数据恢复及特征提取时，常采用 CWT，以牺牲计算量、存储量为代价来获得最好的结果 )，但在很多情况下，我们希望在不丢失原信号 tf 信息的情况下，尽量减小小波变换系数的冗余度。 减小小波变换系数冗余度的作法是将小波基函数的 a 、  限定在一些离散点上取值。 一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取 mm aa 0 (m 为整数， 10a ，一般取 20a )。 关于位移的离散化，当 120 a 时，       tta,。 通常对  进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 为了不丢失信息，要求采样间隔  满足 Nyquist 采样定理，即采样频率大于等于该尺度下频率通常的 2 倍。 每当 m 增加 1，尺度 a 增加 一倍，对应的频带减小一半，可见采样率可以降低一半，也就是采样间隔可以增大一倍。 因此，如果尺度 0m 时  的间隔为 sT ，则在尺度为 m2 时，间隔可取为 smT2。 此时 ta, 可表示为 [7]    ntt mmnm   22 2,  Znm, (25) 任意函数 tf 的离散小波变换为      dtttfnmWTnmRf ,  (26) 二进小波变换 对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取离散栅格的 20a ，0 ，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化 ，我们称这类小波为二进小波，表示为    kk tk 22 2,2  (27) 二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有的独特优点 [7]。 二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波仍具有连续小波变换的时移共变 性，这是它较之离散小波变换所具有的独特优点 [7]。 哈尔滨理工大学学士学位论文 10 多分辨率分析与离散小波快速算法 多分辨率分析 多分辨率分析 (MultiResolution Analysis——MRA)，又称为多尺度分析是建立在函数空间 [3]概念上的理论。 但其思想的形成来源于工程，其创建者 是在研究图像处理问题时建立这套理论。 当时研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用的信息。 Meyer 正交小波基的提出，使得 Mallat 想到是否用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得 到图像不同尺度间的 “信息增量 ” [8]。 这种想法导致了多分辨率分析理论的建立。 MRA 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。 其思想又同多采样滤波器组不谋而合，可将小波变换同数字滤波器的理论结合起来。 因此多分辨率分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。 若把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机由远及近的接近目标，在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，可观测到目标的细微部分。 因此随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精的 观察目标。 这就是多尺度 (即多分辨率 )的思想。 W1W2 W 3 V 3V 0  V 1  V 2  V 3 图 22 小波空间和尺度空间的包含关系 多分辨率分析是指满足下列性质的一系列闭子空间   ZjVj , ： (1)一致单调性：   21012 VVVVV (2)渐近完全性： 0 jZj V；  RLVjZj 2 (3)伸缩规则性：   02)( VtfVtf jj  Zj (4)平移不变性：     00 VntfVtf  ，对所有 Zn (5)正交基存在性： 存在 0V ，使得    znnt  是 0V 的正交基，即   nts p anVn  0，    nmR dtmtnt ,  哈尔滨理工大学学士学位论文 11 小波空间和尺度空间的包 含关系如图 22 所示 [7]。 尺度函数和尺度空间 若一个函数   RLt 2 ， 它的的整数平移系列    kttk  满足     Zkktt kkkk   , , (28) 则 t 可定义为尺度函数 (scale function)。 定义由 tk 在 RL2 空间张成的闭子空间为 0V 称为零尺度空间：   Zkts panV kk  ,}{0  (29) 则对于任意  0Vtf  ，有  tatf kk k)( (210) 同小波函数相似，假设尺度函数 t 在平移的同时又进行了尺度的伸缩，得到了一个尺度和位移均可变化的函数集合：   )2(22)( 2, tktt jkjjkj    (211) 则称每一固定尺度 j 上的平移系列  tj2 所张成的空间 jV 为尺度为 j 的尺度空间：   Zkts pa nV jkkj   ,}2{ 对于任意  jVtf  ，有        kjkjjkk k ktatatf 2222  (212) 由此，尺度函数 t 在不同尺度上其平移系列张成了一系列的尺度空间ZjjV }{。 由式 (211)随着尺度 j 的增大，函数 tkj, 的定义域变大，且实际的平移间隔 )2( j 也变大，则它的线性组合式 (212)不能表示函数 (小于该尺度 )的细微变化，因此其张成的尺度空间只能包括大尺度的缓变信号。 相反随着尺度 j 的减小，线性组合便能表示函数的更细微 (小尺度范围 )变化，因此其张成的尺度空间所包含的函数增多 (包括小尺度信号的大尺度缓变信号 )，尺度空间变大。 也即随着尺度的减小，其尺度空间增大 [6]。 离散小波变换的快速算法 对于任意函数 0)( Vtf  ，可以将它分解为细节部分 1W 和大尺度逼近部分 1V ，然后将大尺度逼近部分 1V 进一步分解。 如此重复就可以得到任意尺度 (或分辨率 )上的逼近部分和细节部分。 这就是多分辨率分析的框架。 设 tf js 为函数 )(tf 向尺度空间 jV 投影后所得到的 j 尺度下的概貌信号 哈尔滨理工大学学士学位论文 12      tctctf k kjkjk jkkjis    , 2， Zk (213) 其中    ttfckjkj , ,，称为尺度展开系数。 若将函数 )(tf 向不同尺度的小波空间 jW 投影，则可得到不同尺度下的细节信号 tfjd ：       Zktdtdtf kjk kjjkk kjjd    ,2 ,  (214) 其中  ttfd kjkj , ),(  ，称为小波展开系数。 若将    RLtf 2 按以下空间组合展开：   jJj j VWRL  2 (215) 其中 J 为任意设定的尺度，则      tctdtf kjk kjkjJj k kj ,       (216) 当 J 时，上式变为    tdtfkjj k kj ,   (217) 即对应于 1BA 时的离散小波变换综合公式 (或逆小波变换 )。 1BA 时的小波框架为正交小波基，所以常称式 (216)、 (217)为离散正交小波变换综合公式。 由此可知，离散正交小波变换同多分辨率分析的思想是一致的，多分辨率分析理论为正交小波变换提供了数学上的。