基于小波变换的图像处理

基于小波变换的图像处理内容摘要：

tf f )(),(11)( 2  () 存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波 )()( 2 nRLtf  使其为球对称，其傅立叶变换也同样球对称， )()(ˆ   () 并且其相容性条件变为 共 47 页 第 9 页   tdttC 0 22 )()2(  () 对所有的 )(, 2 ngLgf 。 fCdbbaWbaWada gfn   ),(),(0 1 () 这里， ),( baWf =〈 ba, 〉， )()( 2/,a btat nba   ，其中 0,   aRa 且 nRb ，公式（ ）也可以写为    0 ,11 ),( dbbaWadaCf baR fn n  () 如果选择的小波  不是球对称的，但可以用旋转进行同样的扩展与平移。 例如，在二维时，可定义 ))(()( 11, a btRatba     () 这里， 2,0 Rba  ，     c ossin sinc osR，相容条件变为      20 202 )s i n,c os(ˆ)2( drrrdrC () 该等式对应的重构公式为   0 20 ,31 ),(2    dbaWdbadaCf bafR () 对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。 离散小波变换 在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。 因此，有必要讨论连续小波 )(, tba 和连续小波变换 ),( baWf 的离散化。 需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数 a和连续平移参数 b的，而不是针对时间变量 t的。 这一点与我们以前习惯的时间离散化不同。 在连续小波中，考虑函数： )()( 2/1, a btatba    这里 Rb ， Ra ，且 0a ，  是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值，这样相容性条件就变为    dC 0 )(ˆ () 通常，把连续小波变换中尺度参数 a和平移参数 b的离散公式分别取作000 , bkabaa jj  ，这里 Zj ，扩展步长 10a 是固定值，为方便起见，总是假定 10a（由于 m可取正也可取负，所以这个假定无关紧要）。 所以对应的离散小波函数 )(, tkj 共 47 页 第 10 页 即可写作 )()()(002/00 002/0, kbtaaa bkatat jjjjjkj    () 而离散化小波变换系数则可表示为   kjkjkj fdtttfC ,* , ,)()(  () 其重构公式为    )()( , tCCtf kjkj  () C是一个与信号无关的常数。 然而，怎样选择 0a 和 0b ，才能够保证重构信号的精度呢。 显然，网格点应尽可能密（即 0a 和 0b 尽可能小），因为如果网格点越稀疏，使用 的小波函数 )(, tkj 和离散小波系数 kjC, 就越少，信号重构的精确度也就会越低。 实际计算中不可能对全部尺度因子值和位移参数值计算 CWTa,b 值，加之实际的观测信号都是离散的，所以信号处理中都是用离散小波变换 (DwT)。 大多数情况下是将尺度因子和位移参数按 2的幂次进行离散。 最有效的计算方法是 s． Mallat 于 1988年发展的快小波算法 (又称塔式算法 )。 对任一信号，离散小波变换第一步运算是将信号分为低频部分〔称为近似部分 )和离散部分 (称为 细节部分 )。 近似部分代表了信号的主要特征。 第二步对低频部分再进行相似运算。 不过这时尺度因子已经改变。 依次进行到所需要的尺度。 除了连续小波 (CWT)、离散小波 (DWT)，还有小波包（ Wavelet Packet）和多维小波。 小波包分析 短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。 多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分（具有等Q 结构）。 小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析方 法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时 频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。 关于小波包分析的理解，我们这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图 AA2 DA2 AD2 DD2 A1 D1 S 共 47 页 第 11 页 图 小波包分解树 图 中， A 表示低频， D 表示高频，末尾的序号数表示小波分解 的层树（也即尺度数）。 分解具有关系 ： S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。 小波包的定义 在多分辨分析中，jzj WRL )(2 ,表明多分辨分析是按照不同的尺度因子 j 把Hilbert 空间 )(2RL 分解为所有子空间 )( ZjWj  的正交和的。 其中， jW 为小波函数)(t 的闭包（小波子空间）。 现在，我们希望几拟议部对小波 子空间 jW 按照二进制分式进行频率的细分，以达到提高频率分辨率的目的。 一种自然的做法是将尺度空间 jV 和小波子空间 jW 用一个新的子空间 njU 统一起来表征，若令 jjjjWUVU10 Zj 则 Hilbert 空间的正交分解 jjj WVV 1 即 可用 njU 的分解统一为 100 1 jjj UUU  Zj () 定义子空间 njU 是函数是函数 )(tUn 的闭包空间，而 )(tUn 是函数 )(2 tUn 的闭包空间，并令 )(tUn 满足下面的双尺度方程： ZknnZknnktukgtuktukhtu)2()(2)()2()(2)(122 () 式中， )1()1()( khkg k  ，即两系数也具有正交关系。 当 n=0 时，以上两式直接给出 ZkkZkkktugtuktuhtu)2()()2()(0100 () 与在多分辨分析中， )()( tt  和 满足双尺度方程： ZkkZkkktgtktht)2()()2()(    22lglhZkkZkk  () 相比较， )(0tu 和 )(1tu 分别退化为尺度函数 )(t 和小波基函数 )(t。 式（ ）是式（ ）的等价表示。 把这种等价表示推广到 Zn （非负整数）的情况，即得到（ ）AAA3 DDA3 ADA3 DDA3 AAD3 ADA3 ADD3 DDD3 共 47 页 第 12 页 的等价表示为 121   njnjnj UUU Zj ； Zn () 定义（小波包） 由式（ ）构造的序列  )(tun （其中 Zn ）称为由基函数 )(0tu = )(t确定的正交小波包。 当 n=0 时，即为（ ）式的情况。 由于 )(t 由 kh 唯一确定，所以又称   Znn tu )( 为关于序列 kh 的正交小波包。 小波包的性质 定理 1 设非负整数 n 的二进制表示为 112iiin  ， i =0 或 1 则小波包 )(wun 的傅立叶变换由下式给出：  1 )2/()( ijn wmwui () 式中： kjk wekhwHwm )(21)()(0   k jk wekgwGwm )(21)()(1 定理 2 设   Znn tu )( 是正交尺度函数 )(t 的正交小波包，则 klnn ltuktu  )(),( ，即   Znn tu )( 构成 )(2RL 的规范正交基。 小波包的空间分解 令   Znn tu )( 是关于 kh 的小波包族，考虑用下列方式生成子空间族。 现在令 n=1，2，„； j=1， 2，„，并对（ ）式作迭代分解，则有 7 26 25 25 24 22 13 12 11,   jjjjjjjjjj UUUUUU UUUW 因此，我们很容易得到小波子空间 jW 的各种分解如下： 726252423121jjjjjjjjUUUUWUUW „   122 kk kjkjj UUW „ 11 22    kk kjkj UU „  12020 jj UUW j „  120 1jU jW 空间分解的子空间序列可写作 mjlU21 ， m=0， 1，„， l2 1； l=1， 2，„。 子空间序列 mjlU21 的标准正交基为  Zkktu ljmjl  :)2(2 22/)1(。 容易看出，当 l=0 和 m=0时， 共 47 页 第 13 页 子 空 间 序 列 mjlU21 简化为 1jU = jW ， 相 应 的 正 交 基 简 化 为)2(2)2(2 2/12/ ktktu jjjj   ，它恰好是标准正交小波族  )(, tkj。 若 n 是一个倍频程细划的参数，即令 n= l2 +m，则我们有小波包的简略记号)(, tnkj )2(2 2/ ktjnj   ，其中， )2(2)( 22/ tut lmln l 。 我们把 )(, tnkj 称为既有尺度指标 j、位置指标 k 和频率指标 n 的小波包。 将它与前面的小波 )(, tkj 作一比较知，小波只有离散尺度 j 和离散平移 k 两个参数，而小波包除了这两个离散参数外，还增加了一个频率参数 n= l2 +m。 正是这个频率新参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率高时频率分辨率低的缺陷，于是，参数 n表示 )2(2)(22/ tut lmln l 函数的零交叉数目， 也就是其波形的震 荡次数。 定义（小波库） 由 )(tn 生成的函数族 )(, tnkj （其中 Zn ； j， Zk ）称为由尺度函数 )(t 构造的小波库。 推论 对于每个 j=0， 1， 2，„ jZj WRL )(2=„   302020 UUWW „ () 这时，族 { )(, ktuu nkj  |j=„， 1， 0； n=2， 3，„且 Zk } () 是 )(2RL 的一个正交基。 随着尺度 j 的增大，相应正交小波基函数的空间分辨率越高，而其频率分辨率越低，这正是正交小波基的一大缺陷。 而小波包却具有将随 j 增大而变宽的频谱窗口进一步分割变细的优良性质，从而克服了正交小波变换的不足。 小波包可以对 jW 进一步分解，从而提高频率分辨率，是一种 比多分辨分析更加精细的分解方法，具有更好的时频特性。 小波包算法 下面给出小波包的分解算法和重构算法。 设 njnj Utg )( ，则 njg 可表示为   l jnnjlnj ltudtg )2()( , () 小波包分解算法 由  njld ,1 求  njld2, 与  12, njld k klklk klknjlnjnjnjdbddad,112,1222,。