基于小波变换的图像增强技术

基于小波变换的图像增强技术内容摘要：

 也是单调增长，则只 )(rPs 可由 L ncb yxfLnayxg   ]1),([),(攀枝花学院本科毕业设计（论文） 2 传统的图像增强方法 7 下式求出： )(1])([)( sTrsrrs ddrPsP  式 () 可见，使用灰度变换进行图像增强技术的实质，就是选用合适的变换函 10 )()( dwrPrTs r来修正图像灰度级概率密度函数 )(rPr ，从而得到灰度级具有 )(sPs分布的新函数。 )(rT 往往根据需要来选择，为了能从图像中获得尽量多的信息量。 也就是使图像的熵尽可能大，我们常常要求 )(sPs =常数，即所谓的直方图均匀化，也就是说，图像中所有灰度出现频率相等的图像，所包含的信息量最大。 均衡化处理是直方图修正的经典技术，该方法使得处理后图像的灰度级分散比较均匀，从而达到图像增强的目的。 （ a） 原始图像 （ b） 均匀化后的图 在图中，从 (a)可以看出，原始图像灰度分布严重不均匀，主要集中在中间，表明因为图像曝光不足，较暗。 从图 (b)看出，处理后的直方图接近于均匀，图像的亮度得到提高，而且能够看出图像中的一些细节，即清晰度得到提高。 结合上面的理论分析及处理效果，对直方图修正技术进行性能分析： (1)适用范围：对于曝光过度或曝光不足的图像有很好的增强效果，对比非常明显。 (2)缺陷：由于灰度直方图只是近似的概率密度函数，当用离散的灰度等级做变换时，很难得到完全平坦均匀的结果；当灰度直方图有多个波峰时，它将使图像增强过度，并有较严重的噪声出现。 攀枝花学院毕业设计（论文） 3 小波基本理论 8 3 小波基本理论 小波的概念 定义 设 )()( 12 RLRLx  且满足条件：     dxC2|| 式 () 则称 x 为一个基本小波函数（简称小波函数），条件式（ ）称为容许性条件。 由小波定义的容许性条件可知，必有 00 即 0 dxx。 从而小波至少具有一阶消失矩。 下面 再介绍几种常用的基本小波函数。 Morlet实小波： 21 4 20 () π c o s (5 )e ttt  式 () 其复数形式为： 2j2 π0 .50 ( ) ( π ) e ec Bft tfBtf  式 () 其傅里叶变换为： Bf fff20 )(0 e)( 式 () 通常，  ≥ 5，  =5的情况用得最多。 Bf 为带宽， cf 为中心频率。 Morlet小波是一种复数小波，其时域和频域都具有很好的局部性，常用于复数信号的分解及时频分析中。 但是， Morlet小波不满足容许性条件，因为 )0( ≠ 0，不过，当  ≥ 5时，可认为 )0( ≈ 0，近似满足容许性条件。 harr小波时域形式： )()1( 222222 xx edxdexx   式 () 频域形式：    e2)( 式 () Marr小波是 Gauss函数的二阶导数，在ω =0时， )( 有二阶零点，在时域与频攀枝花学院本科毕业设计（论文） 3 小波基本理论 9 域有很好的局部性。 (3) DOC小波时域形式： 822221xx eex   式 () 频域形式 : ][2 22     eex 式 () DOC小波是两个尺度差一倍的 Gauss函数之差。 在ω =0, )( 有二阶零点，在时域与频域有很好的局部性。 连续小波变换 所有小波是通过对基本小波进行尺度伸缩和位移得到的。 基本小波是一具有特殊性质的实值函数，它是震荡衰减的，而且通常衰减得很快，在数学上满足积分 为零的条件：   0dtt 式（ ） 而且其频谱满足条件：   dsssc 2|| 式（ ） 即基本小波在频域也具有好的衰减性质。 有些基本小波实际上在某个区间外是零，这是一类衰减最快的小波。 一组小波基函数是通过尺度 因子和位移因子由基本小波来产生： 连续小波变换定义为： 式 () 连续小波变换也称为积分小波变换。 连续小波逆变换为： 式 () 二维连续小波定义为： 式 () )(1)(, a bxaxba  dxa bxxfadxxxfxfbaW babaf )()(1)()()(,),( ,    ),(1),(, a bya bxayx yxbba yx  攀枝花学院本科毕业设计（论文） 3 小波基本理论 10 二维连续小波变换是： 式 () 二维连续小波逆变换为： 式 () 离散小波变换（ DWT） 在数值计算中，需要对小波变换的尺度因子、位移因子进行离散化，一般采用 如下的离散化方式： 图 小波离散示意图 二维离散小波变换 为了将一维离散小波变换推广到二维，只考虑尺度函数是可分离的情况，即 3,0 ),(),(1),( adadbdbyxbbaWCyxf yxbbayxf yx )21(21)(1,2)(1,2)(,)1(1)(,0,1,00200,0000,0000nxhxhbaHa a rRLbaxhbahnbxahaxhnmbabkabaammnmnmmmnmnm时，小波函数族为：取基：基是中，最典型的规范正交空间例如，在平方可积函数构成离散二进小波。 通常采用构成规范正交基。 使适当选择小波基函数为：为整数，其中令尺度因子2,0 )(),(1)( adadbxbaWCxf baf  攀枝花学院本科毕业设计（论文） 3 小波基本理论 11 )()(, yxyx   式 () 其 中  是一维尺度函数，其相应的小波是 x ，下列三个二维基本小波是建立二维基本小波变换的基础：  yxyx  ),(  yxyx  ),( )()(),(3 yxyx   式 () 它们构成二维平方可积函数空间 )( 22 RL 的正交归一基： )2,2(2),(, nymxyx jjljlnmj   nmljlj ,3,2,1,0  式 () 二维小波正变换 从一幅 NxN的图象 ),(1 yxf 开始，其中上标指示尺度并且 N是 2的幂。 对于 j=0, 尺度 122 0 j ，也就是原图象的尺度。 j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率减半。 在变换的每一层次，图象都被分解为四个四分之一大小的图象，它们都是由原图与一个小波基图象的内积后，再经过在行和列方向进行 2倍的间隔抽样而生成的。 对于第一个层次 (j=1)，可写成： 后续的层次 (j1)，依次类推，形成如图所示的形式： 图 图像分解示意图 若将内积改写成卷积形式则有： )2,2(),(),()2,2(),(),()2,2(),(),()2,2(),(),(313221221112102nymxyxfnmfnymxyxfnmfnymxyxfnmfnymxyxfnmf攀枝花学院本科毕业设计（论文） 3 小波基本理论 12 因为尺度函数和小波函数都是可分离的，所以每个卷积都可分解成行和列的一维卷积。 例如，在第一层，首先用 )(0 xh 和 )(1 xh 分别与图象 ),(1 yxf 的每行作卷积并丢弃奇数列 （以最左列为第 0 列）。 接着这个 NxN/2 阵列的每列再和 )(0 xh 和)(1 xh 相卷积，丢弃奇数行（以最上行为第 0 行）。 结果就是该层变换所要求的四个 (N/2)x(N/2)的数组。 如下图所示： 图 二维小波正变换示意图 二维小波逆变换 逆变换与上述过程相似，在每一层，通过在每一列的左边插入一列零来增频采样前一层的四个阵列；接着用 h0(x)和 h1(x)来卷积各行，再成对地把这几个N/2xN的阵列加起来；然后通过在每行上面插入一行零来将刚才所得的两个阵列的增频采样为 NxN；再用 h0(x)和 h1(x)与这两个阵列的每列卷积。 这两个阵列的和就是这一层重建的结果。 )2,2)](,(),([),()2,2)](,(),([),()2,2)](,(),([),()2,2)](,(),([),(302322022210212020211111111nmyxyxfnmfnmyxyxfnmfnmyxyxfnmfnmyxyxfnmfjjjj攀枝花学院本科毕业设计（论文） 3 小波基本理论 13 图 二维小波逆变换示意图 快速小波变换算法（ FWT,Mallat 算法） 利用双带子带编码迭代地自底向上建立小波变换。 首先按照低半带和高半带进行子带编码后，对低半带再一次进行子带编码，得到一个 N/2点的高半带信号和对应于区间 [0, Ns ]的第一和第二个 1/4区域的两个N/4点的子带信号。 然后，连续进行 上述过程，每一步都保留高半带信号并进一步编码低半带信号直到得到了一个仅有一个点的低半带信号为止。 这样，小波变换系数就是这个低半带点再加上全部用子带编码的高半带信号。 如下图所示。 最前面的 N/2个系数来自于 F(s)的高半带，接下来的 N/4个点来自于第二个四分之一带，依次类推。 图 快速小波变换示意图 上述算法被称为快速小波变换（ Fast Wavelet Transform），也因其形状而被称为 Mallat的“鱼骨型算法”。 其逆变换如下图所示。 式 () )(),()(2,. .. ,1,0,. ..。 0,0,)2(2)()(),(,00,1012,ttkhkjkttntmtkjjjkjnm攀枝花学院本科毕业设计（论文） 3 小波基本理论 14 二进小波。