基于matlab的高阶低通滤波器的设计

基于matlab的高阶低通滤波器的设计内容摘要：

特性愈接近矩形，过渡带愈窄传递函数无零点。 利用 Matlab 设计巴特沃斯滤波器的程序 [z,p,k]=buttap(N)。 %设计巴特沃斯滤波器 [b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %将零点增益形式转换为传递函数形式 [H,w]=freqs(b,a,n)。 %按 n指定的频率点给出频率响应 magH2=(abs(H)).^2。 %给出传递函数幅度平方 程序运行结果如下 : 鲁东大学 本科毕业 设计 8 可以看出，滤波器的幅频平方特性随着频率 的增加而 单调下降。 随着滤波器的阶数的增大，其幅频特性越接近矩形。 I 模拟低通滤波器 切比雪夫 I型模拟低通滤波器的平方幅值响应函数为 ︱ H(j )︱ 2=A( 2) =2211 ( )NCC   其中，  为小于 1 的正数，表示通带内的幅值波纹情况； c 为截止频率， N 为切比雪夫多项式阶数， ()N cC 为 切比雪夫 多项式。 切比雪夫 I 型滤波器特点是：通带内具有等波纹起伏特性，在阻带内单调下降，具有更大的衰减特性；阶数越高，特性越接近矩形。 传递函数无零点。 Matlab 信号处理箱中专门利用函 数 cheblap 设计 N 阶切比雪夫 I 型模拟低通滤波器原型。 其设计程序为 [z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)。 %设计切比雪夫 I 型滤波器 [b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %转换为传递函数形式 [H,w]=freqs(b,a,n)。 %求的传递函数的频率特性 magH2=(abs(H)).^2。 %求的传递函数的幅频响应 程序运行结果如下： 鲁东大学 本科毕业 设计 9 由上图可知，与巴特沃斯滤波器相 比，在相同的阶数下切比雪夫滤波器具有 更窄的过渡带。 但是这是在牺牲了通带的平滑程度换来的。 II 型模拟低通滤波器 切比雪夫 II 型模拟 低通滤波器的平方幅值响应函数为 ︱ H(j )︱ 2=A( 2)=12211 ( )NCC    该滤波器的特点是：阻带内具有等波纹的起伏 特性，而在通带内是单调、平滑的，阶数越高，频率特性越接近矩形，传递函数既要有极点又要有零点。 Matlab 信号处理箱 提供函数 cheb2ap 设计 N 阶 切比雪夫 II 型模拟低通滤波器。 其设计程序如下： [z,p,k]=cheb2ap(N,Rs)。 %设计 ChebyshevII 型模拟低通滤波器 [b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %转化为传递函数 [H,w]=freqs(b,a,n)。 %求出滤波器的频率响应 magH2=(abs(H).^2)。 %频率响应的幅度平方 程序运行结果如图所示： 鲁东大学 本科毕业 设计 10 由上图可知 切比雪夫 II 滤波器在通带内是单调平滑的，而在阻带内却出现了波纹。 随着滤波器阶数的增高，其幅频特性越接近矩形。 椭圆模拟低通滤波器的平方幅值响应函数为 ︱ H(j )︱ 2=A( 2) = 2211 ( )NcE   式中  为小于 1 的正数，表示波纹情况； c 为低通滤波器的截止频率， N 为滤波器的阶数， ()N cE  为椭圆函数。 椭圆滤波器的特点：在通带和阻带内都具有等波纹起伏特性，与巴特沃斯滤波 器和切比雪夫滤波器相比，相同的性能指标所需的阶数最小，但是相频响应却具有 十分明显的非线性。 MATLAB信号处理工具箱提供椭圆模拟低通滤波器的设计函数 程序是 Rp=1。 Rs=15。 %设置通带波纹为 1dB,阻带衰减为 15dB 鲁东大学 本科毕业 设计 11 [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。 %设计椭圆滤波器 [b,a]=zp2tf(z,p,k)。 %将零极点增益形式转化为传递函数形式 [H,w]=freqs(b,a,n)。 %求得传递函数的复数频率响应 magH2=(abs(H)).^2。 %给出幅度函数平方函数 其运行结果如图所示： 由上图可知，椭圆滤波器的过渡带已相当窄，这种特性是 以牺牲通带和阻带的单调平滑性为代价的而换来的。 对前四种模拟原型滤波器做一总结可知： Butterworth 滤波器在通带和阻带 内具有平滑单调的特点，但在相同过渡带宽的条件下，该滤波器所需的阶数最多。 ChebyshevI 和 II型滤波器在通带或阻带内具有波纹，但在相同过渡带宽的条件下，该滤波器所需的阶数比 Butterworth 滤波器更少。 椭圆滤波器在通带和阻带内均有波纹出现，但在相同过渡带宽的条件下，该滤波器所需阶数最少。 第四章 数字滤波器的设计 数字滤波器的简介 鲁东大学 本科毕业 设计 12 数字滤波技术是数字信号处理的一个重要组成部分，滤波器的设计是信号处理的核心问题之一。 和模拟滤波器一样，数字滤波器的主要功能是对数字信号进行处理，最常见的处理是保留数字信号的有用频率成分，去除信号中的无用频率成分。 按时间域特性，数字滤波器可以分为无限冲激响应数字滤波器和有限冲激响应数字滤波器两类。 随着信息时代的到来，数字信号处理已经成为当今一门极其重要的学科和技术，并且在通信、语音、图像、自动控制等众多领域得到了广泛的应用。 在数字信号处理中，数字滤波器占有极其重要的地位，它具有精度高、可靠性好、灵活 性大等特点。 现代数字滤波器可以用软件或硬件两种方式来实现。 软件方式实现的优点是可以通过滤波器参数的改变去调整滤波器的性能。 IIR 滤波器的设计 IIR 滤波器的基本 结构 无限长单位冲激响应（ IIR）滤波器有以下几个特点： （ 1） 系统的单位响应 h(n)是无限长的； ； （ 2） 系统函数 H(z)在有 z平面（ 0︱ z︱ ∞）上有极点存在； （ 3） 结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型的。 但是，同一种系统函数 H(z)可以有多种结构，它的基本网络结构有直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、级联 型和并联型四种。 IIR滤波器的设计 思路 IIR 滤波器的设计就是根据滤波器的性能指标要求，设计滤波器的分子和分母多项式 系数。 它和 FIR 滤波器相比 在满足相同性能指标要求的前提下， IIR 滤波器的阶数低于 FIR滤波器； FIR 滤波器的相位是线性的，而 IIR 滤波器的相位是非线性的。 在前面了解了模拟滤波器的设计，在数字滤波器的设计中，就是利用模拟滤波器的设计成果进行数字滤波器的设计。 经典的 IIR 滤波器的设计方法就是按照一定的变换原理转化为数字滤波器。 这个方法就是先根据模拟的技术指标设计出相应 的模拟滤波器，然后将设计好的模拟滤波器变换成数字滤波器。 IIR 滤波器的 MATLAB 的实现 在设计了模拟低通滤波器后，就可以把它们变成数字滤波器了。 这些变换均是复值映射，许多文献对此都有研究，根据数字滤波器所保持的模拟滤波器的不同特性，研究出不同的变换技术。 其中，最重要的有两种：脉冲响应不变法（保持脉冲响应不变，又叫冲激响应不变法）和双线性 Z变换法（保持系统函数不变）。 （一） 脉冲响应不变法 设计 IIR 滤波器 脉冲响应不变法的设计原理是使数字滤波器的单位抽样响应序列 h(n)等于模鲁东大学 本科毕业 设计 13 拟滤波器的单位冲 激响应 g(t)的采样值。 设系统传递函数为 G(s)的模拟滤波器的单位脉冲响应为 g(t),并将脉冲响应h(t)进行等间隔采样，使得数字滤波器的单位抽样响应 h(n)刚好等于 h(t)的采样值，即：    g | stnTh n t  (41) 其中的 Ts 为采样周期。 G(s)是模拟滤波器的系统传递函数，又令 H(z)是数字滤波器的系统传递函数。 采样信号的拉式变换与相应的采样序列 Z变换的映射关系为： ez sT (42) 所以系统函数 G(s)和 H(z)的关系为：       k ssez jksGTzH sT 1| (43) 式 (41)的物理意义为首先将模拟滤波器的系统函数 G(s)作周期的延拓，在经过式 (42)的映射变换，映射到 Z 平面上，从而得到数字滤波器的系统函数 H(z)。 模拟和数字频率满足下列关系：ω =Ω T。 经过式 (42)的映射， s平面的左半平面映射为 Z 平面的单位圆内，因此，一个因果的和稳定的模拟滤波器映射成因果的和稳定的数字滤波器。 经过以上分析，按照脉冲响应不变法，通过模拟滤波器的系统传递函数 G(s)，可直接求得数字滤波器系统函数 H(Z),其设计具体步骤归纳如下： (1)利用ω =Ω T（可由关系式 ez sT 推出），将数字滤波器指标 P ， S 转换为模拟滤波器指标 P ， S (2)根据指标 P ， S 来设计模拟滤波器 G(s) (3)利用部分分式展开法，把 G(s)展成    Nk kkPs AsG 1 (43) (4)最后把模拟极点 Pk 转换为数字极点 eTSk ，得到数字滤波器：      Nk TS k Ze AzH k1 11 (44) 以 脉冲响应不变法设计巴特沃斯低通数字滤波器为例 [b,a]=butter(n,Wn,39。 s39。 )。 %b、 a 分别为模拟滤波器的分子分母按降幂排列的多项式系数 [bz,az]=impinvar(b,a,1/Ts)。 %脉冲响应不变法得到数字滤波器的分子、分母系数 鲁东大学 本科毕业 设计 14 disp(39。 分子系数 b39。 )。 %下面是显示分子、分母多项式系数 fprintf(39。 %.4e39。 ,bz)。 fprintf(39。 \n39。 )。 disp(39。 分母系数 a39。 )。 fprintf(39。 %.4e39。 ,az)。 fprintf(39。 \n39。 )。 omega=[0::pi]。 %确定坐标轴范围 h=freqz(bz,az,omega)。 %得到模拟滤波器的单位冲击响应系数 Ampli=20*log10(abs(h)/abs(h(1)))。 %求衰减的分贝 程序运行结果如下。 Ts = 滤波器的阶数 N=4 分子系数 b +000 分母系数 a +++ （二） 双线性变换法 设计滤波器 鲁东大学 本科毕业 设计 15 双线性变换关系为 1121s 1S zTz  模拟角频率与数字频率之间的关系为  2 tan /s sT  (45)  2 a rc ta n / 2sT  其中的 Ts 为采样周期，这是由 s平面到 z平面的一种新的映射关系。 当 由 0 变到  时， tan( /2)由 0变到＋∞；当  由 0 变到  时， tan( /2)由0变到 ∞，即 s平面的整个虚轴 j 只映射到 z平面单位圆一周，这种频率映射关系利用了正切函数的非线性特点，把整个 j 压缩到了  到  ，即单位圆一周，从而使得 s 平面到 z 平面之间的映射为一一对应的关系，避免 了混叠现象。 这种映射关系能保证： （ 1） s平面的整个虚轴 j 只映射为 z平面的单位圆一周； （ 2） 若 H(s)是稳定的，由 H(s)映射得到的 H(z)也应该是稳定的。 （ 3） 这种映射是可逆的，既能由 H(s)得到 H(z)， ,也能由 H(z)得到 H(s)； 双线性变换法设计 IIR 滤波器的步骤如下： 双线性 Z 变换法的基本思路是：首先将整个 s平面压缩到 s1 平面的一条带宽为 2π /T（丛 π /T 到π /T）的横带里，然后通过标准的变化关系 ez sT 将横。