基于matlab的连续时间信号傅里叶级数分析及实现论文

基于matlab的连续时间信号傅里叶级数分析及实现论文内容摘要：

6 吉布斯现 象 上一节中我们提到了吉布斯现象，本节我们将作重点来讨论。 我们知道满足狄里赫利条件的周期函数表示成的傅立叶级数都收敛。 狄里赫利条件如下： 1. 在任何周期内， x(t)必须绝对可积； 2. 在任一有限区间中， x(t)只能取有限个最大值或最小值； 3. 在任何有限区间上， x(t)只能有有限个第一类间断点。 所谓的吉布斯现象就是：在 x(t)的不可导点上，如果我们只取 x(t)等式右边的无穷级数中的有限项作和 X(t)，那么 X(t)在这些点上会有起伏 [1]。 具体现象如下图所示，以下分别为谐波次数为 N=50， N=100， N=500 合成波的情况。 2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 51谐波次数 N = 5 0 时的合成波形2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 51谐波次数 N = 1 0 0 时的合成波形2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 51谐波次数 N = 5 0 0 时的合成波形 图 不同时 N值时的合成波 从上面的图像中可以看出，当 N=500 的时候，合成波与原来的方波拟合得非常好，但是在不可导的点上，即为 x=,x=,x=,x= 这样的点的时候，合成波会有较大的波动，这就是非常明显的吉布斯现象。 7 3 连续时间周期信号的频谱分析 与 双边频谱关系 如前所述，周期信号可以分解成一系列正弦（余弦）信号或虚指数信号之和 ， 为了直观地表示出信号所含各分量的振幅 nA 或 ||nF ，随频率的变化情况，通常以角频率为横坐标，以各次谐波的振幅 nA 或虚指数函数 ||nF 的幅度为纵坐标，画出如图 的振幅 nA 或 ||nF 与角频率的关系图，称为周期信号的幅度（振幅）频谱，简称幅度谱。 图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。 各谱线顶 点连线的曲线（如图中原点所示）称为频谱包络线，它反映了各谐波分量幅度随频率变化的情况。 图 谱（用 nA 绘制的频谱）。 图 （用 ||nF 绘制的频谱）。 类似地，也可画出各谐波初相角 n 与角频率的关系图，如图 n与角频率的关系图，称为相位频谱，简称相 位谱。 图。 图 相位谱为双边相位谱。 如果 nF 为实数，那么可用 nF 的正负来表示 n 为 0或  也可把幅度谱和相位谱画在一张图上。 由图可见，周期信号的谱线只出现在频率为 0, ,2 ,... 等原周期信号频率的整数倍的离散频率上，即周期信号的频谱是离散谱。 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 510 50 100 15000 . 0 50 . 10 50 100 150505 图 周期信号的单边幅度谱和相位谱 8 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 51 1 5 0 1 0 0 5 0 0 50 100 15000 . 0 50 . 1 1 5 0 1 0 0 5 0 0 50 100 15042024 图 周期信号的双边幅度谱和相位谱 由此可见周期信号频谱具有三个特点： （ 1）离散性，即谱线是离散的； （ 2）谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上； （ 3）收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小 [3]。 单边频谱和双边频谱的区别就是求值的范围不同，单边频谱求的是频率大于 0的情况，而双边频谱求的是所有频率的情况，即包括频率小于 0 的情况，这个区别在上面的两张图中可以非常明显地看出来。 ，研究脉冲宽度与频谱的关系 首先令方波首 期 T=5。 改变脉冲宽度，就是在图 中 T 值不变的情况下，改变的τ值的大小，同时τ必须小于 T。 在 MATLAB 软件里可以比较方便地改变这个值。 xsqual=@(x)1/2.*(x==1/2)+1.*(x1/2amp。 x1/2)+1/2.*(x==1/2)。 这个语句是控制τ值的，现在的参数是 1/2。 下面是比较三种不同τ值的矩形脉冲单边频谱图像。 9 图 不同τ值时的频谱 容易看出，在 T不变的情况下，减小τ值，可以使频谱变得更密集，增大τ值则可以使频谱变得稀疏，因此，需要在不同的情况下选择不 同的τ值，才能是系统变得更加符合实际需要。 由于周期 T相同，因而相邻谱线的间隔相同；脉冲宽度窄，其频谱包络线第一个零点的频率愈高，即信号带宽愈宽，频带内所含的分量愈多。 可见，信号的频带宽度与脉冲宽度 τ 成反比 [2]。 ，研究脉冲周期与频谱的关系 上面是改变τ值来观察频谱的变化情况，现在来改变 T 值以达到改变频谱的目的。 在 10 MATLAB 代码中 a=5。 b=5。 T0=ba。 这几句代码是用来控制方波的 T 值的， ba就是方波的周期 T，在 上面 的讨 论中 使用 的参 数是 a=5,b=5 ，现 在将 τ的 参数 ，即 这 句xsqual=@(x)1/2.*(x==1/2)+1.*(x1/2amp。 x1/2)+1/2.*(x==1/2)固定为 1/2，然后分别将 a,b值变为： a=4,b=4 和 a=6,b=6，来研究方波周期对其频谱的影响。 图 不同 T值的频谱 通过观察以上三个图像中第一个零点的位置，不难看出：当方波的周期越大，频谱就越密集，周期越小，频谱就越稀疏，其实这点也不难理解。 因为τ值不变，改变 T值就等于改变了 T=ατ中比例系数α的大小。 由于周期脉冲信号的时域宽度不变，这时频谱包络 线的零点所在位置不变，而当周期增长时，相邻谱线的间隔减少，频谱变密。 如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，相邻谱线的间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。 随着周期的增长，各谐波分量的幅度也相应减少。 脉冲周期 T 愈大，谱线间隔愈小，频谱越稠密；反之，则越稀疏。 11 4 典型周期脉冲的频谱 周期方波脉冲频谱的 MATLAB 实现 周期方波脉冲信号如图 ，其幅度为 1，脉冲宽度 ‘占空比 ’： duty=，周期 T=5。 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81周期方波脉冲 图 周期方波脉冲 编写 ，源程序文件见附录程序 四。 调用函数 ，即可绘出方波脉冲的双边频谱，其中周期 T和占空比 duty可变，修改程序即可得到单边频谱。 将在下一小节中给出不同参数时的频谱图。 12 周期方波脉冲 双边 频谱的 MATLAB 实现 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比为 50% 的周期方波脉冲 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4连续时间函数周期方波脉冲的双边幅度谱 图 周期方波脉冲 的双边频谱 a 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比为 75% 的周期方波脉冲 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4连续时间函数周期方波脉冲的双边幅度谱 图 周期方波脉冲 的双边频谱 b 13 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 5 ，占空比为 50% 的周期方波脉冲 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4连续时间函数周期方波脉冲的双边幅度谱 图 周期方波脉冲 的双边频谱 c 由 上面三个 图可以看出， 当 T一定时占空比越大频谱主瓣的宽度越大，当占空比一定时周期越小频谱的主瓣宽度越大。 周期方波信号频谱与周期矩形脉冲信号 具有相同的规律， 这里不再赘述。 周期方波脉冲 单边 频谱的 MATLAB 实现 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比为 50% 的周期方波脉冲0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000 . 20 . 4周期方波脉冲的单边幅度谱 图 周期方波脉冲 的单边频谱 a 14 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比为 75% 的周期方波脉冲0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000 . 20 . 4周期方波脉冲的单边幅度谱 图 周期方波脉冲 的单边频谱 b 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 5 ，占空比为 50% 的周期方波脉冲 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4连续时间函数周期方波脉冲的双边幅度谱 图 周期方波脉冲 的单边频谱 c 单边频谱就是双边频谱正半轴部分，其具有的规律也与双边频谱相同。 15 周期三角波脉冲频谱的 MATLAB 实现 周期三角波脉冲如图 ，周期 T=5，其幅度为 1。 2 0 1 5 1 0 5 0。