基于matlab的平面四杆机构运动分析

基于matlab的平面四杆机构运动分析内容摘要：

几何关系上分析连杆和摇杆的角位移、角速度、角加速度等运动参数的变化情况。 本论文 的主要内容是平面四杆机构 连杆、 从动杆运动分析系统的开发 ，其意义在于： (1)深入研究计算机 辅助功能 在设计 平面四 杆机构曲线方面的应用，从而指导实践 ； (2)总结出 平面 四杆机构轨迹综合的理论基础，从而指导多杆或复杂的低副平面机构的综合 ； (3)运用 MATLAB 软件强大的 矩阵分析 计算功能与图形 交互式 界面开发系统，设计出可以 方便 、 快捷 地 实现 平面四杆 机构 运动 分析的应用系统。 (4)应用 于 机构设计过程 中 ，利用本系统对连杆、从动杆的角位移、角速度、角加速度分析 结果 ，进一步指导、修正、改进机构设计 ，以便更好地实现预定功能和效果。 2 平面四杆机构运动分析 平面四杆机构简介 平面四杆机构是由四个刚性构件用低副链接组成的，各个运动构件均在同一平面内运动的机构。 平面四杆机构最基本的形式是铰链四杆机构。 铰链四杆机构 是 所有 运动副 均为转动副的四杆机构，它是平面四杆机构的基本形式，其他四杆机构都可以看成是在它的基础上演化而来的。 选定其中一个构件作为机架之 后 ，直接与机架链接的构件称为连架杆，不直接与机架连接的构件称为连杆，能够做整周回转的构件被称作曲柄，只能在某一角度范围内往复摆动的构件称为摇杆。 如果以转动副连接的两个构件可以做整周相对转动，则称之为整转副，反之称之为摆转副。 铰链四杆机构中，按照连架杆是否可以做整周转动，可以将其分 为三种基本形式，即曲柄摇杆机构，双曲柄机构和双摇杆机构。 曲柄摇杆机构，两连架杆中一个为曲柄一个为摇杆的铰链四杆机构。 双曲柄机构，具有两个曲柄的铰链四杆机构称为双曲柄机构。 其特点是当主动曲柄连续等速转动时，从动曲柄一般做不等速转动。 在双曲柄机构中，如果两对边构件长度相等且平行，则成为平行四边形机构。 这种机构的传动特点是主动曲柄和从动曲柄均以相同的角速度转动，而连杆做平动。 双摇杆机构 ， 双摇杆机构是两连架杆均为摇杆的铰链四杆机构。 由于铰链 四杆机构是平面四杆机构的基本类型，其他四杆机构可看做由它演化而来，所 以在这里以铰链四杆机构为研究对象。 基于 MATLAB 的平面四杆机构运动分析 3 平面四杆机构类型分析 平面四杆机构中，根据是否存在整转副以及整转副的位置，平面四杆机构可分为曲柄摇杆机构，双曲柄机构，双摇杆机构三种。 平面四杆机构有曲柄的前提条件是运动副中必存在整转副，而整转副存在的条件为： 符合杆长条件，即：最短杆长度 +最长杆长度≤其余两杆长度的和 组成该整转副的两杆中一定有一杆为最短杆 上述条件表明，当四杆机构各杆长度满足杆长条件时， 有最短杆参与构成的转动副都是周转副，而其它的转动副是摆动副。 故 四杆机构有曲柄的 条件是： (1)各杆长度应 符合杆长条件。 (2)其最短杆为连架杆或机架。 由此分析，可得出三种类型的平面连杆机构的组成条件： 曲柄连杆机构：符合杆长条件且最短杆为连架杆； 双曲柄机构： 符合杆长条件且最短杆为机架； 双摇杆机构： 符合杆长条件且最短杆为连杆。 如图 21 所示，为曲柄摇杆机构。 图 21 平面四杆机构模型 基于 MATLAB 的平面四杆机构运动分析 4 建立平面四杆机构的数学模型 要想利用解 析法对平面四杆机构运动进行分析，首先要建立平面四杆的数学模型。 曲柄摇杆机构和双曲柄机构的机构模型如图 21 所示，以该模型为研究对象进行研究。 建立平面四杆机构的封闭矢量位置方程式 当使用矢量法建立机构的位置方程时，需将构件用矢量表示，且作出机构的封闭矢量多边形。 如图 21 所示，首先建立一个直角坐标系。 设构件 1 的长度为 1l ，其方位角为 1 ，1l 为构件 1 的杆矢量，即 1l =AB。 机构中其他构件都 可以表示成相应的杆矢量： 2l =BC ；3l =DC ； 4l =AD。 各矢量之和等于零。 即： 1l + 2l =3l +4l （ 21） 式（ 21）即为图 21 所示四杆机构的封闭矢量位置方程式，对于一个已知的平面四杆机构，其各构件的长度和原动件 1 的运动规律是已知的，即 1l ， 2l ， 3l ， 4l 和 1 为已知。 又由于构件 CD 为机架，故 4 =0，由此矢量方程可求解两个未知方向角 2 ， 3。 各杆矢量的方向可自由确定，本文矢量方向如图 21 所示，但各杆矢量的方位角  应由 x 轴开始，并以逆时针方向计为正方向。 这里研究的仅是曲柄连杆机构和双 曲柄机构的运动，且是以曲柄 1l 为主动件，作等角速度 1 运动的情况。 运用矢量法和矩阵法求解封闭矢量方程式 以所建立的平面四杆机构模型为基础，运用矢量法和矩阵法建立封闭矢量方程式，并在此基础上对平面四杆机构分别进行位置分析、速度分析和加速度分析。 （ 1）位置分析 运用矢量分析法，角位移方程的分量方程为： 1 1 2 2 3 3 4c os c os c os 0l l l l      （ 22） 1 1 2 2 3 3si n si n si n 0l l l     （ 23） （ 2）速度分析 对式 22，式 23 左右两侧分别对时间 t 求解一阶导数，即可得到角速度方程，即： 1 1 1 2 2 2 3 3 3c os c os c os 0l l l        （ 24） 基于 MATLAB 的平面四杆机构运动分析 5 1 1 1 2 2 2 3 3 3si n si n si n 0l l l        （ 25） 注意排版，下同 表示成矩阵形式为： 2 2 3 3 2 1 112 2 3 3 3 1 1s in s in s inc o s c o s c o sl l ll l l                     （ 26） 利用 MATLAB 的矩阵分析运算，解得： 1 1 32 2 3s in ( )s in ( )ll     （ 27） 1 1 23 3 3 2s in ( )s in ( )ll     （ 28） 注意：  ， 3 分别表示连杆（构件 2）和连架杆（构件 3）的角速度。 （ 3）加速度分析 对式 26 左右两边同时对时间 t 求一阶导数，得到角加速度方程矩阵式为： 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 1 12 2 3 3 3 2 2 3 3 3 1 1s in s in c o s c o s c o sc o s c o s s in s in s inl l l l ll l l l l                                                  (29) 利用 MATLAB 的矩阵分析运算，解得： 1 1 1 3 2 2 3 32 3 2 3c o s ( ) c o s ( )s in ( )l l ll              （ 210） 1 1 1 2 2 3 3 23 3 3 2c o s ( ) c o s ( )s in ( )l l ll             （ 211） 注意： 2 ， 3 分别表示连杆（构件 2）和连架杆（构件 3）的角加速度。 求解过程涉及的数学、物理计算方法 在求解过程中，主要涉及到高等数学和大学物理等相关科目的内容，在对平面四杆机构的数学模型求解过程中所涉及到的知识如以下所示： （ 1）基础物理学中对时间 t 求导方法 角位移  对时间 t 求导得角速度  ： ddt ，单位为 /rad s （ 211） 角速度  对时间 t 求导得角加速度  ： 基于 MATLAB 的平面四杆机构运动分析 6 22ddt t  ，单位为 2/rad s （ 212） （ 2）高等数学中涉及的求导公式 si n c o s c o sddd t d t    （ 213） c o s s in s inddd t d t       （ 214） ()uv uv u v   （ 215） 基于 MATLAB 的平面四杆机构运动分析 7 3 基于 MATLAB 的运动分析程序设计 MATLAB 简介 MATLAB 是由美国 mathwork 公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式 程序设计 的高科技计算环境。 它将 数值分析 、 矩阵计算 、科学数据可视化以及非 线性 动态系统的 建模 和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效 数值计算 的众多科学 领域 提供了一种全面的解决方案 ， 并在很大程度上摆脱了传统非交互式 程序设计语言 （如 C、 Fortran）的编辑模式 ， 代表了当今国际科学计算软件的先进水平。 MATLAB 的基本数据单位是矩阵，它的 指令 表达式 与 数学 、工程中常用的形式十分相似，故用 MATLAB 来解算问题要比用 C， FORTRAN 等语言完成相同的事情简捷得多，并且 MATLAB 也吸收了像 Maple 等软件的优点，使 MATLAB 成为一个强大的 数学软件。 在新的版本中也加入了对 C， FORTRAN， C++， JAVA 的支持。 可以直接调用 ， 用户也可以将自己编写的实用程序导入到 MATLAB函数 库中方便自己以后调用，此外许多的MATLAB 爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用。 在这里，利用了 MATLAB 的矩阵运算功能，对平面四杆机构的运动进行了相关的分析。 程序设计流程 按照现代程序设计的观点， 算法（ Algorithm）是一系列 解决问题的清晰指令。 算法是一个程序的灵魂，一个准确无误的算法是程序设计成功的关键。 任何算法功能都能够通过三种基本结构：顺序结构，选择结构，循环。