数列求和方法总结

数列求和方法总结内容摘要：

( ) 2( ) ( )nna a a a a a a a a a a a               234 3 2 0 52 3 5 0 222nS S n n    ． 故 223 2 0 5 34223 2 0 5 3 5 0 2 3 522nn n nTn n n   ， ， ．≤≥ 4 点评： 对于带绝对值号的数列求和问题，应先弄清 n 取什么值时， 0na 或 0na ，然后再求解．本题应注意的是当 35n≥ 时， nnaa 也是一个等差数列． 应用知识点： 在等差数列 na 中，若 1 00ad， ，则从某项 ma 起， 0( )na n m ≥ ，故数列  na的前 n 项和12nnnmS n mS S S n m   ， ， ； ≥； 当 1 00ad， ，类似有12.nnnmS n mS S S n m  ， ， ≥ ： 1 等比数列求和公式有两个，但这两个公式是各管一块，互不牵扯，所以在等比数列求和中就出现一个公式选择的问题，这取决于公比 1q 还是 1q . 二．非等差、等比数列求和 （一）可转化为等差、等比数列求和 . 1. “合项”法 是处理数列求和问题的一种重要方 法，它利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简． 例 1 已知数列 na 的前 n 项和 11 5 9 13 ( 1 ) ( 4 3 )nnSn        ．求 16S 的值． 解 析 ： 采 用 相 邻 两 项 直 接 合并 ．这里 16n 为偶数，16 ( 1 5 ) ( 9 13 ) [ ( 4 15 3 ) ( 4 16 3 ) ]S           共合并成8对 4 8 32  ． 点评 ：对于正负交替出现的数列求和，可考虑利用合项求和的方法，在使用合项求和时，要弄清求的是前多少项的和，如果是偶数项，两两合并，正好配对，若是奇数项，一般留首项，然后再合并 . 应用知识点： 合项法求数列的前 n 项和 . 例 2 若等差数列 na 共有 21n 项，求证： 1nS S a 奇 偶 ． （ *） （ SS奇 偶， 分别为奇数项、偶数项的和） 分析 ： 1 3 2 1 2 1nnS a a a a    奇 ， 2 4 2 nS a a a   偶 ， ∴ SS奇 偶 1a留 下 其 余 相 邻两 项 合 并 1 3 2 5 4 2 1 2( ) ( ) ( )nna a a a a a a      n共 合 并 成 对 11na n d a ．还可以留下最后一项，其余相邻两项 合并 ． 证明 ： 1 2 3 4 2 1 2 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 2n n n nS S a a a a a a a nd a nd a nd a                 奇 偶 ． 其实 1na 是数列 na 的前 21n 项的中项，所以上面（ *）式，又可写成 S S a奇 偶 中，这是等差数列的一条性质，有着广泛的应用．因此，同学们不仅要会用这种方法配对求和，还要熟练掌握这个常用结论． 点评 ：对于正负交替出现的数列求和，可考虑利用合项求和的方法，在使用合项求和时，要弄 5 清求的是前多少项的和，如果是偶数项，两两合并， 正好配对，若是奇数项，一般留首项，然后再合并 . 应用知识点： 合项法求数列的前 n 项和 . 2. 拆项法 例 3 求 1 1 1 11 3 5 72 4 8 16， ， ，。