毕业论文--基于小波变换的图像去噪方法的研究

毕业论文--基于小波变换的图像去噪方法的研究内容摘要：

可以将各种交织在一起的由不同频率组成的混合信号分解成不同频率的块信号，能够有效地解决诸如数值分析、信号分析、图像处理、量子理论、地震勘探、语音识别、计算机视觉、 CT 成像、机械故障 诊断等问题。 因此，小波分析在图像去噪方面有着广泛地应用。 小波变换 连续小波变换 [13， 14] （ 1）连续小波基函数 所谓小波 Wavelet ，即存在于一个较小区域的波。 小波函数的数学定义是：设为一平方可积函数，即，若其傅立叶变换满足： （ ） 时，则称为一个基本小波或小波母函数，并称上式是小波函数的可容许条件。 根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点。 另一方面 ，根据可容许性条件可知，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。 将小波母函数进行伸缩和平移，设其伸缩因子 亦称尺度因子 为，平移因子为，并记平移伸缩后的函数为，则 : （ ） 并称为参数和小波基函数。 由于和均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数经伸缩和平移后得到的一组函数系列。 定义小波母函数的窗口宽度为，窗口中心为，则可以求得连续小波基函数的窗口中心及窗口宽度分别为： （ ） 设 是的傅立叶变换，频域窗口中心为，窗口宽度为，的傅立叶变换为，则有 : （ ） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为： （ ） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子的函数，均随着的变化而伸缩，并且还有 （ ） 即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是 Heisenberg 测不准原理。 将不同、值下的时频窗口绘在同 一个图上，就得到小波基函数的相平面（如图 所示）。 图 小波基函数的相平面 （ 2）连续小波变换 将空间的任意函数在小波基下进行展开，称其为函数的连续小波变换 CWT，变换式为： （ ） 当小波的容许性条件成立时，其逆变换为： （ ） 其中为的容许性条件。 另外，在小波变换过程中必须保持能量成比例，即 : （ ） 由 CWT 的定义可知，小波变换和傅立叶变换一样，也是一种积分变换，其中为 小波变换系数。 可见小波变换对函数在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特性正是通过缩放因子和平移因子来得到的。 根据、的不同，可以得到小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号的局部化分析。 连续小波变换具有以下重要性质： ① 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。 ② 平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为。 ③ 伸缩共变性：若的小波变化为，则的小波变换为。 ④ 自相似性：对应于不同尺度因子和不同平移因子的连续小波变换之间是自相似性的。 ⑤ 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的 冗余度〔 redundancy〕，小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面： 1）由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。 也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换则是一一对应的。 2）小波变换的核函数即小波基函数并不是唯一的，即存在许多可能的选择（如：它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的。 小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。 它的选择应满足定义域是紧支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数具有速降 特性，以便获得空间局域化。 另外，它还要满足平均值为零。 也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。 一个一维函数的连续小波变换是一双变量的函数，变量比多一个，因此称连续小波变换是超完备的，因为它要求的存储量和它代表的信息量都显著增加了。 对于变量超过一个的函数来说，这个变换的维数也将增加。 若是一个二维函数，则它的连续小波变换是： （ ） 其中，表示在两个维度上的平移，二维连续小波逆变换为： （ ） 同样的方法可以推广到两个或两 个以上的变量函数上。 离散小波变换 [15] 计算机中的图像信息是以离散信号形式存放的，所以需要将连续小波变换离散化。 而最基本的离散化方法就是二进制离散，一般将这种经过离散化的小波及其变换叫做二进小波和二进变换。 需要注意的是这里的离散化都是针对连续的尺度因子和连续平移因子的，而不是针对时间的。 这儿限制尺度因子总是正数。 （ 1）尺度与位移的离散化 对连续小波基函数尺度因子和平移因子进行离散化可以得到离散小波变换，从而减少小波变换系数的冗余度。 在离散化时通常对尺度因子和平移因子按幂级数进行离散化，即取（为整 数，但一般都假定），得到离散小波函数为： （ ） 其对应系数为： （ ） （ 2）二进制小波变换 二进小波变换是一种特殊的离散小波变换，特别地令参数，则有。 该二进尺度分解的原理在二十世纪三十年代由 Littlewood 和 Paley 在数学上进行了研究证明。 离散小波变换为： （ ） 离散二进小波变换为： （ ） 二维离散小波变 换： 我们考虑二维尺度函数是可分离的情况，也就是： （ ） 设是与对应的一维小波函数，则有： （ ） （ ） （ ） 以上三式就建立了二维小波变换的基础。 多分辨率分析与滤波器组 Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨率分析（ MultiResolution Analysis）的概念，从空间概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，并将在此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法―― Mallat 算法。 Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。 小波变换是一种多分辨率分析的有利工具。 多分辨率分析具有如下性质[16]： 1 单调性 ，； （ ） 2 逼近性 ，； （ ） 3 伸缩性 ； （ ） 4 平移不变性 ； （ ） 5 Riesz 基 存在函数，使得构成的 Riesz 基，即对任一，存在唯一的，使在均方收敛意义下成立 （ ） 且存在，使 （ ） 由以上可以看出，所有的闭子空间都是由同一尺度的函数伸缩后平移系列张成的的尺度空间，称为多分辨率分析的尺度函数。 尺度函数的傅里叶变换具有低通滤波的特性，小波函数的傅里叶变换具有高通滤波特性。 这样利用尺度函数和小波函 数构造信号的低通滤波器和高通滤波器。 则可以对信号进行不同尺度下的分解。 多分辨率分析可形象地表示为一组嵌套的多分辨率子空间（如图 所示）。 图 嵌套的多分辨率子空间 假设原信号的频率空间为，经第一级分解后被分解成两个子空间：低频的和高频的；经第二级分解后被分解成低频的和高频的。 这种子空间的分解过程可以记为： （ ） 其中符号表示两个子空间的“正交和”；代表与分辨率对应的多分辨率分析子空间；与尺度函数相对应的小波函数的伸缩和平移构成的矢量空间是的正交补空间；各是反映空间信号细节 的高频子空间，是反映空间信号概貌的低频子空间。 由离散小波框架可得到子空间的以下特性： （ ） 这一结果表明：分辨率为 20 1 的多分辨率分析子空间可以用有限个子空间来逼近。 多分辨率分析的频带逐级剖分还可以直观地表示为图。 图中假设原信号的总归一频带为，从图中可以看出，被逐级分解后各子空间所占频带的变化情况： 、、。 图 多分辨率频带的逐级剖分 基于上述考虑，我们可以用一对 FIR 滤波器去实现上述的多分辨率分解。 设和分别为理想的低通和理想的高通滤波器，利用其对原 始信号 x n （其正半轴归一频带在 之间）的多分辨分解可表示为如图 所示的树形分解。 信号经H0 和 H1，滤波后两支路输出必定正交（因为频带不交叠），同时由于两支路输出的带宽均减半，因此采样率可以减半而不会引起信息的丢失。 正是因为如此，图中在滤波后才可以加入降 2 采样，降 2 采样的目的是为了寻求各级滤波器的一致性。 图 中各级的低通滤波器和高通滤波器是一样的。 这是因为前一级的输出经过了降采样，而滤波器的设计是根据归一频率进行的。 例如，第一级 H0 的真实频带是（ Ts 为输入的采样间隔），其归一频率为（注：归一频率 真实频率 *采样间隔）。 第二级 H0 的真实频带虽是，但其归一频率仍然是，因为第二级输入的采样间隔是 2Ts，所以有。 图 多分辨率分析的滤波器组分解树 多分辨率分析中的这种树形分解有其不可替代的优点。 如果直接采用若干个带通特性不同的带通滤波器将原始信号 x n 分解到多个不同的频带、„，因各个滤波器均不相同，因此其设计和计算量都较大，而且，随着分解级数的增加计算量将成比例增加。 然而，采用这里的树形分解时，各级滤波器是一样的，其计算量小。 树形分解适应由粗到精的多分辨率分析的过程。 不过树形分解也有其缺点，就 是当树形分解的级数较大时，输出的延时较长。 上述信号经过分解后也可得以重建，其重建过程是分解过程的逆过程：每一支路先进行升采样（即在输入序列的每两个相邻样本间补一个零，使数据长度增加一倍），从而恢复降采样前序列的长度；其次作相应的低通或高通滤波；然后再对相应级上滤波后的两支路进行求和。 在和为理想滤波器的情况下，重建滤波器仍可采用和在这样的逐级重建的过程中就实现了对信号由粗到精的重建。 以上的分析从子空间、频率空间的角度阐明了多分辨率分析的概念，同时，分析了多分辨率分析和滤波器组之间的密切关系。 图像的 小波变换及其 Mallat 算法 图像是二维信号，二维多分辨率分析与一维类似，但空间变成，一 维中引入的尺度函数变为。 设是的一个多分辨率分析，则可以证明，张量空间：构成的一个多分辨率分析，并且二维多分辨率分析的二维尺度函数为 式中：是尺度函数 一维。 式 说明了二维尺度函数的可分离性。 对于每一个 ,函数系构成的规范正交基，这里下标 j， n， m 的含义是： （ ） 我们将称为的可分离多分辨率分析。 因、都是低通的尺度函数，所以平滑的低通空间。 如果是一维多分辨率分析的正交小波基，则二维多分辨率分析的三个小波函数为： （ ） 对于每一个，它们的整数平移系为： （ ） 注意这里的上标只是索引而不是指数。 它们构成了 的规范正交基。 因此以上的三个正交基中都至少包含一个带通的 或 ，所以它们都是带通的。 也就是说这三部分反应的都是 细节信息。 具体来说，函数系 ， 是 的正交归一基，其中均为整数， 1,2,3 分别对应于水平、垂直和对角三个方向。 对于任一二维图像信号，在分辨率下有： （ ） 上式表明，在分辨率上将图像分解成、 和四个子图，其中代表原图像在分辨率上的近似（即图像的低频部分，不妨用 LL 来表示），则代表这种近似的误差（即图像的高频部分或“细节”部分）；对应于垂直方向的高频成分，即水平的边缘（细节）信息（不妨用 LH 表示）；对应于水平方向的高频成分，即垂直的边缘（细节）信息（不妨用 HL 表示） ；则对应于对角方向的高频成分（不妨用 HH表示）。 图 形象地表示了二维图像的多分辨率小波分解。 图中符号的上标表示图像的小波分解层数，图中示意了图像的 2 级小波分解。 可以看到，在每一分解层上，图像均被分解为 LL, LH, HL 和 HH 的四个频带；下一层的分解仅对低频分量 LL 进行分解。 图 二维图像的小波分解 按照 Mallat 的快速算法，图像的小波分解算法如图 所示： 图 图像的小波分解算法 图 示意了图像的一步小波分解过程，可以看到：二维图像的小波分解可以对图像依次按行、按列与一维的低通 H 和高通 G 滤波。