探讨提高高速公路路面质量的改进方案

探讨提高高速公路路面质量的改进方案内容摘要：

ssSi ijijij 即 ijS 表示第 i 项指标的第 j 个元素值在 167 类材料的同一影响指标之和中所占的比例。 公路质量 综合评价模型 权重的确定 评判因素公路质量的因素有 抗水损害性能、高温性能、 低温性能 三项指标，但抗水损害性能指标由两项决定： TSR,S0，这两者在决定公路抗水损害性能时所起的作用相同，近似将两者对公路质量的影响程度看作相同。 由于题中并未对三项指标定出孰轻孰重，近似将三项指标的决定公路质量性13 能的作用力相同。 将四个评判因素的加权向量记为 4321 ,  ，有： )(121432141ii 得到： 31,61 4321   即各因素的权重分配为 (31,31,61,61) 综合评判函数 综合评判函数为：    4 14321 , i ijij Sxxxxy  据此，可得出具有完整 样本数据 的 167 种公路 类型 的质量 量化值： 平均直径 题中给出了 13 种筛孔直径，对应不同型号的集料，集料的粗细程度有较大差别。 在此将 筛孔全部通过的平均集料直径作为衡量集料粗细程度的样本数据，由于集料的直径大小应该是 连续的，也就是说各个直径的集料应当都是存在的，在此将每两种直径之间的集料直径看作是均匀分布，就会出现 12 个均匀分布区间。 集料直径概率密度 表达式 为： 直径下界－直径上界 1d i a m e t e r 根据平均分布的函数取值的平均值在区间的中间 (即各个直径边界的平均值 )，将集料直径归为 12 种，即： 1 2 3 4 5 6 直径大小 29mm 7 8 9 10 11 12 直径大小 由于粗细程度有所差别，各个直径上的集料数也会有所不同，第 i 个边界值对应 的筛孔通过率为 )13,...2,1(39。 iai ( 39。 1a 最大，为 100％； 39。 13a 为最小的筛孔通过率 )，确立 ia ，有： )12...2,1(39。 139。   iaaa iii 其中： 1121 i ia 得到的 12 个样本数据就是 12 种直径的离散分布概率，根据期望值的定义式，得到反映集料粗细程度的平均直径 Diameter 表达式为 ： 14   12 1)( i ii di a m e t e radi a m e t e rED i a m e t e r 各因素对 综合 质量的影响 力分析 表中有些元素对应的数值缺失，保留 10 种元素完整的样本数据组 为 65 个，因此在进行各因素对质量的影响力求解时， 需 对这 65 组完整样本数据进行分析 ，以 建立影响高速公路路面质量的最重要的和比较重要的因素之间比较精确的数学模型。 采用样本数据重排方法对已有的质量量化值进行处理，方法就是按照由小到大的顺序重新排列。 初步分析 —— 单因素分析法 以 5 个样本数据为一组分别求解质量量化 值的平均值同各个对应元素的平均值的关系 (筛孔 通过率以平均直径作为衡量标准 )，也就是将质量的变异影响因素归为 10 个因素，对每一个水平进行重复实验。 缺点： 该方案 基于将各个因素分开讨论 ，而忽略各因素的关联性。 即 ：只有一个因素在变化，其他可控制的条件不变的情况。 通过求解，仍然发现关系不是很明显，如下图中所示 (图一：油石比同质量的关系图；图二： VV 与质量的关系图 )： 图一 图二 方法改进 —— 逐步回归分析法 应该寻找一种方法， 计算每一个因素 变动时，都是在前一次计算的基础上进行，并采用连环比较的方法确定因素变化影响结果 ，考虑采用逐步回归方法。 逐步回归方法是一种自动从大量可供选择的变量中选择那些对建立回归方程比较重要的变量的方法，它在筛选变量方面较为理想，能包含对结果的影响程度较大而不包含对结果的影响力不显著的变量回归过程。  线性回归 将 10 个影响因素用符号表示为 1021 ..., zzz ，若质量值 y 和 10 个因素之间的关系是线性的， 1110102211 .... kzkzkzky  使用 Matlab 工具箱里的命令 stepwise 进行逐步回归： 15 StepwisePlot 窗口 StepwiseTable 窗口 图形说明： 1点两边的水平（实或虚）直线段表示其置信区间，虚线表示该变量的拟合系数与 0 无显著差异，实线表示有显著性差异 2除第 7 条线外其余线都是红色的，代表不再模型中的线，只有第 7 条线是绿色，代表在模型中的线。 结论： 由于只有第 7 条线是绿色实线，因此，质量值只与第 7 个因素即毛体积密度有显著关系，这与理论上不符。 在此考虑用类似于第一问的方法引入非线性方程。  非 线性方程的引入 将某个 质量值看作是另外 10 个变量的非线性组合， 四者之间关系初步 即： 1110102211 .... ... kz ykz ykz yky  对以上的系数进行求解时，考虑为了确定其中的未知参数，往往可以通过变量代换，把非线性化回归化为线性回归，然后利用线性回归的方法确定参数值。 变换为： 10102211 ,...., zyyzyyzyy  得到线性方程 ： 1110102211 . . . . . kykykyky  用 Matlab 工具箱里的命令 stepwise 进行逐步回归，得到 StepwisePlot 窗口和 StepwiseTable 窗口： 16 StepwisePlot 窗口 StepwiseTable 窗口 图形说明 ： 1点两边的水平（实或虚）直线段表示其置信区间，虚线表示该变量的拟合系数与 0 无显著差异，实线表示有显著性差异 2除第 1， 3， 5， 7， 10 条线外其余线都是红色的，代表不再模型中的线，第 2， 4， 6， 8，9 条线是绿色，代表在模型中的线。 结论： 质量值与第 1， 3， 5， 7， 10 因素即油石比， VV， VFA，毛体积密度，及 %GMM(最大 )有显著关系，关系如下： 107531  yzzzzz 进 行假设检验如下： 1k 2k 3k 4k 5k [,5] [,2] [,1] [,] [,7] 6k 相关系数 分位值 概率 [,3] [1]逐步回归的效果较好，与质量值有关的因素是油石比， VV， VFA，毛体积密度，及 %GMM(最大 )这 5 项因素。 [2]可近似认为几个系数值反映的是各个因素的影响力大小，第一个系数值最大，代表油石比对最后的质量值的影响力最大，属于关键影响因素，与原文一致。 各个质量指标同 各项因素的关系 17 利用同样的逐步回归方法得到 StepwisePlot 窗口如下 ： 图一 图二 图三 图四 Remarks:图一，图二，图三，图四分别代表 TSR， S0，车辙，弯拉应变与其他10 项因素之间的关系。 关系列表如下 ： 各项因素 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TSR √ √ √ √ √ √ S0 √ √ √ 车辙 √ √ √ 弯拉应变 √ √ √ √ 整体质量 √ √ √ √ √：表示有某种数量关系 通过计算，得到 z 与 x 间的关系表达式有： 1,xz ： 10865421  zzzzzzx 2,xz ： 10732  zzzx 3,xz ： 1108 2 5 1 5 9 0 8 8 510556463  zzzx 4,xz ： 17 6 1 3 8103 4 4 8 9 2 9 6 9 5 510756514  zzzzx 提高高速公路路面的质量方案 18 基于以上的求解得到 的 非线性方程，若要使得 y 值最大，则应该尽量使 1z ，75,zz 值越大越好，使 103,zz 值越小越好。 将表中 107531 , zzzzz 的最大值与最小值分别记为 )2()2( , ii mM ， 10,7,5,3,1i 建立最优化模型如下： yMax    )2. . . . . . . . . (. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .) . . . . . . . . .10,7,5,3,1()1(..22107531iMzmyzzzzztSiii 经求解，得到结果为： 油石比 VV VFA 毛体积密度 %GMM(最大 ) 质量值 % 74% % 7 筛孔通过率与路面压实度的上界关系（问题三） 章节假设 集料的筛孔通过率可理解为混合料中粗细不同集料的构成比例，体现在集料颗粒粒径在不同尺寸的分布。 将数学意义下的路面压实度理解为集料颗粒对待铺路面的填充体积的比例最大值。 并做出以下两点假设。  假设集料颗粒均为规则的球体。  在碾压过程中，集料颗粒不会发生型变。 基于以上 分析及假设，下文就筛孔 通过滤与数学意义下路面压实度上界之间的数量关系展开分析。 理论上对问题的定性探讨 从文中所给出的％ Gmm（最大）可以看出，大多数混合料试件成型时达到的最大压实状态的压实度从 %~％不等。 原因在于集料的级配组成不同，而 混合料中有直径不同的集料构成。 且沥青在较高温度时具有一定的流动性，使集料颗粒较易填充入未填充的空隙中。 于是 将实际工作过程 分解 为：在直径较大的集料将待压实路面体积装满后，直径较小的集料再将其装在空隙装满。 显然，对于公路路面而言，在其设计中， 集料对路面 的铺设厚度是被设计决定的。 因此在实际工作中，只要达到％ Gmm（最大）即可停止碾压，故％ Gmm（最大）并不一定是压实度的上界。 因此这里并没有对集料的筛选通过滤与％Gmm（最大）进行 相应 数据 的 分析。 在实际的压实过程中， 铺设路面的 体积 是一定的。 路面厚度铺设路面面积铺设路面体积  若从理论上探讨筛孔通过率与路面压实度上界的数量关系，可不妨将 待 铺设路面体积视为由若干边长很小的立方体组成的大容器； 而直径各不相同的集料颗粒将使计算复杂化，因此 这里 将 每个集料颗粒视为 一个直径较小的球体。 若假设这些小球体的半 径相同，且球体的直径可由筛孔通过率体现，因此可19 将路面压实度的上界问题转化为 在空间中以 何 种方法放满等 半径 的球体，所浪费的空间最少 的问题。 也就是著名的“ 开普勒猜想 ”。 根据题目中对压实度的定义： 1 0 0 最大理论密度 试件密度压实度 若假设  为压实度， 立方体的容积为 L ，球半径为 r ，正方体内的球体数量为 N ；因为无论何种排列方式 排列 球体 ，都无法将立方体装满，因此有如下不等式成立。 0011 0 034 3 LrN  可将上式视为球内的装载密度，而在压实度上界的数学意义下， 以上问题 即求 如下最优化模型。 10034 :3 LrNM a x 当然，这种最优化的模型是难以求解的。 而开普勒给出了一种立方体内的球体排列方法，虽未经过严格地数学证明，但 至今 仍未找到其他更节省空间的排列方法。 因此 本文认为，“开普勒猜想”中所给出的排列方法即为求得该问题数学意义下上界的最优解。 开普勒猜想的 球体 填充方案 假设 边长为 2 的正立 方体，分别以立方体的八个顶点及六个面的中心为球心，以 22 为半径作球。 因为在这个立方体内，球的体积和即为 4 个整球体积（ 8个角，每个角有 81 个球；六个面，每个面有半个球）。 下图通过 3dmax 软件描述在各角度观察的上述排列方案。 20 因此，上文的装载密度可表示为 ： 3)2 2(4410034333  L。