苏教版高二数学定积分

苏教版高二数学定积分内容摘要：

上的定积分等于它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量 . 注意 当 ba  时， )()()( aFbFdxxfba  仍成立 . 求定积分问题转化为求原函数的问题 . 例 1 求 .)1si nc o s2(20   dxxx例 2 设 , 求 . 215102)(xxxxf20 )( dxxf原式   20co ssi n2 xxx  .23 解 解    10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf在 ]2,1[ 上规定当 1x 时， 5)( xf ,   10 21 52 dxxdx原式 .6 xyo 1 2例 3 求 .},m a x {2 2 2 dxxx解 由图形可知 },m ax {)( 2xxxf ,21100222xxxxxx   21 2100 2 2 dxxxdxdxx原式 .211xyo2xyxy1 22例 4 求 .112 dxx解 当 0x 时， x1 的一个原函数是 ||ln x , dxx 12 1   12||ln  x .2ln2ln1ln 例 5 计算曲线 xy s i n 在 ],0[  上与 x 轴所围 成的平面图形的面积 . xyo 解 面积   0 s i n xdxA  0c o s 例 6 设 )( xf 在 ),(  内连续，且 0)( xf . 证明函数xxdttfdtttfxF00)()()( 在),0(  内为单调增加函数 . 证  x dtttfdxd 0 )( ),( xxf x dttfdxd0 )( ),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF  ,)()()()()( 200 xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(  xxf ,0)(0  x dttf,0)()(  tftx ,0)()(0  x dttftx).0(0)(  xxF故 )( xF 在 ),0(  内为单调增加函数 . 例 7 设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 1)( xf . 证明 1)(20   dttfxx在 ]1,0[ 上只有一个解 . ,0)(2)(  xfxF,1)( xf)( xF 在 ]1,0[ 上为单调增加函数 . ,01)0( F 10 )(1)1( dttfF   10 )](1[ dttf,0所以 0)( xF 即原方程在 [0 ， 1] 上只有一个解 . 证 ,1)(2)( 0   dttfxxF x令 例 8 求 .lim 21co s02xdtex tx 解  1c o s 2x t dtedxd ,c o s12  x t dtedxd)( co s2c o s   xe x ,si n 2c o s xex 21cos02lim x dtextx  xex xx 2si nlim 2c o s0 .21e00分析：这是 型不定式，应用洛必达法则 . 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 定理 假设 （ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续； （ 2 ）函数 )( tx  在 ],[  上是单值的且有连续导数； （ 3 ）当 t 在区间 ],[  上变化时， )( tx  的值在 ],[ ba 上变化，且 a)(  、 b)(  ， 则 有 dtttfdxxfba     )()]([)( . 一、定积分的换元法 a)(  、 b)(  , )()(   )]([)]([  FF ),()( aFbF )()()( aFbFdxxfba  )()(  .)()]([ dtttf   注意 当   时，换元公式仍成立 . 应用换元公式时应注意 : 求出 )()]([ ttf  的一个原函数 )( t 后，不必象计算不定积分那样再要把 )( t 变换成原变量 x的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入)( t 然后相减就行了 . （ 2） （ 1） 用 )( tx  把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也 相应的改变 . 例 1 计算 .s i nc o s205  xdxx令 2x ,0 t 0x ,1 t 20 5 s i nc o s xdxx 01 5 dtt1066t.61解 ,c os xt  ,s i n xdxdt 例 2 计算 .si nsi n053   dxxx解 xxxf 53 si nsi n)(    23si nc o s xx   0 53 s i ns i n dxxx    0 23s i nc o s dxx   20 23s i nc o s dxxx   223s i nc o s dxxx   20 23 s i ns i n xdx   223 s i ns i n xdx  2025s in52 x  225s in52 例 3 计算 .)ln1(ln43 e e xxx dx解 原式  43)ln1(ln)( l nee xxxd 43)ln1(ln)( l nee xxxd432)ln(1ln2 ee xxd  43)lna r c si n(2 e ex .6例 4 计算  a adxxax0 22 )0(.1ax  ,2 t 0x ,0 t解 令 ,s in tax  ,c o s t dtadx 原式  20 22 )s i n1(s i nc o s dttatata20 c o ss i nc o s dtttt   20 c o ss i ns i nc o s121 dttttt  20c o ss i nln21221  例 5 当 )( xf 在 ],[ aa 上连续，且有 ① )( xf 为偶函数，则  aaadxxfdxxf0)(2)( ； ② )( xf 为奇函数，则 aadxxf 0)( . 证 ,)()()(00   aaaa dxxfdxxfdxxf在  0 )(a dxxf 中令 tx  ,  0 )(a dxxf   0 )(a dttf ,)(0 a dttf① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf    a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(。 )(2 0 a dttf② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf    a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()( .0例 6 若 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，证明 （ 1 ）2200)( c o s)( s i n dxxfdxxf。 （ 2 ） 00)( s i n2)( s i n dxxfdxxxf . 由此计算02c o s1s i ndxxxx. 证 （ 1）设 tx  2 ,dtdx 0x ,2 t 2x ,0 t 20 )( s in dxxf     02 2s i n dttf  20 )( c o s dttf。 )( c o s20  dxxftx  ,dtdx 0x , t x ,0 t 0 )(sin dxxxf   0 )][ s i n ()( dttft,)( s i n)(0   dttft  0 )( s i n dxxf ,)( s i n0  dxxxf.)( s i n2)( s i n 00    dxxfdxxxf  0 2c o s1 s i n dxxxx    0 2c o s1 s i n2 dxxx   0 2 )( c o sc o s1 12 xdx  0)ar c t an( c o s2 x.42 )44(2   0 )( s i n dttf   0 )(sin dtttf 0 )(sin dxxxf设函数 )( xu 、 )( xv 在区间  ba , 上具有连续导数，则有  。