高考数学函数知识精要

高考数学函数知识精要内容摘要：

减。 根据定义证明函数单调性的方法： ①设 x x2∈ A，且设 x1＜ x2 ；②作差： f(x1)－ f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；③判断差的符号，并作结论。 复合函数单调性的判断方法：设 y=f(u)， u=g(x)，x∈ (a,b),u∈ (m,n)，都是单调函数，则 y=f(g(x))在 [a,b]上也是单调函数。 若 y=f(u)是 (m , n)上的增（减）函数，则 y=f(g(x))的增减性与 u=g(x)的增减性相同（相反）。 也可概括为“同增、同减为增，一增一减为减”。 2020年 12月 16日星期三 21 167。 反函数的求法：①由 y=f（ x）解出 x=f－ 1（ y）；②将 x=f－ 1（ y） 中的 x、 y互换，得 y=f－ 1（ x） ；③由 y =f（ x ） 的值域，写出 y =f－ 1（ x ）的定义域。 定义：函数 y=f(x)(x∈ A)中，设它的值域为 C，由y=f(x)解出 x=f－ 1(y)，如果对于 y在 C中的任何一个值，由 x=f－ 1(y) ， x在 A中都有唯一的值和它对应，那么x=f－ 1(y)就表示 x是 y的函数，则函数 x=f－ 1(y)就叫做y=f(x)的反函数。 习惯上把 y看成函数，将 x、 y调换， y=f(x)的反函数表示为 y=f－ 1(x)。 反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。 互为反函数的两个图象关于直线 y=x对称。 2020年 12月 16日星期三 22 〖 方法小结 〗 只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。 因此，定义域上的单调函数必有反函数；偶函数一般不存在反函数，但偶函数f(x)=1(x=0)有反函数；奇函数不一定存在反函数；周期函数不存在反函数。 若原函数是奇函数，则反函数也一定是奇函数。 若原函数过点 (a , b)，则反函数过点 (b, a) ，即若 f（ a） =b，则 f－ 1（ b） =a。 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。 2020年 12月 16日星期三 23 167。 、反比例函数、一次、二次函数 正比例函数： y=kx（ k≠0） x y o k＞ 0 x y o k＜ 0 图象 性质 :定义域为 R； 值域为 R； 是奇函数； 单调性： k＞ 0时为增函数 , K＜ 0时为减函数。 2020年 12月 16日星期三 24 图象 反比例函数： y= （ k≠0） k x x y o k＞ 0 x y o k＜ 0 性质 : 定义域： (－ ∞,0)∪ (0,＋ ∞)。 值域： (－ ∞,0)∪ (0,＋ ∞)； 是奇函数； k＞ 0时，在 (－ ∞,0)或 (0,＋ ∞) 上是增函数； k＜ 0在 (－ ∞,0)或 (0,＋ ∞) 上是减函数。 2020年 12月 16日星期三 25 一次函数： y=kx＋ b（ k≠0） x y o k＞ 0 x y o k＜ 0 图象 性质 : 定义域为 R； 值域为 R； b=0是奇函数； b≠0时为非奇非偶函数； k＞ 0时为增函数 , K＜ 0时为减函数。 2020年 12月 16日星期三 26 二次函数： y=ax2+bx+c（ a≠0） o x y 图象开口往上，对称轴为 x=－ ，有最小值， 在（－ ∞，－ ]为减函数，在 [－ ， +∞)为增函数。 b 2a b 2a b 2a 4ac－ b2 4a 性质： 定义域： R； 值域： [ ， +∞)。 当 b=0时为偶函数，当 b≠0时为非奇非偶函数。 a＞ 0时的图象与性质 2020年 12月 16日星期三 27 o x y 图象开口往下，对称轴为 x=－ ，有最大值， 在（－ ∞，－ ]为增函数，在 [－ ， +∞)为减函数。 b 2a b 2a b 2a 4ac－ b2 4a 性质： 定义域： R； 值域：（ — ∞ ， ]。 当 b=0时为偶函数，当 b≠0时为非奇非偶函数。 a＜ 0时的图象与性质 2020年 12月 16日星期三 28 Δ＞ 0 Δ＜ 0 Δ=0 图象 x x1=x2 y o x x1 x2 y o y x o ax2+bx+c=0 (a0) ax2+bx+c0 (a0) ax2+bx+c0 (a0) x=x1 或 x=x2 x=x1 =x2=－ b 2a {x|xx1 或 xx2} {x|x1 xx2} b 2a {x|x≠－ } O O R 无实根 二次函数与二次不等式 2020年 12月 16日星期三 29 〖 方法与小结 〗 解决分式函数 f(x)= ，可转化为反比例函 数来解决。 如 f(x)= 转化为。