高二数学两角和与差的正弦和余弦公式

高二数学两角和与差的正弦和余弦公式内容摘要：

3，即 B 为锐角时， sin C ＝ sin [ 180176。 － ( A ＋ B )] ＝ sin( A ＋ B ) ＝ sin A c os B ＋ c os A sin B ＝451213＋35513＝6365. (2) 当 c os B ＝－1213，即 B 为钝角时， sin C ＝ sin [ 180176。 － ( A ＋ B )] ＝ sin( A ＋ B ) ＝ sin A c os B ＋ c os A sin B ＝45－1213＋35513＝－3365. 因为 C 为 △ ABC 的内角， sin C 0 ，所以 sin C ＝－3365不合题意，舍去．综上所述， sin C ＝6365. [ 点评 ] 由单位圆中的三角函数线 易知在 △ ABC中， A B ⇔ sin A sin B . 因此求得 sin A ＝45后，可由45513知A B ，故 B 为锐角，从而易求 c os B ＝1213. • 在 △ ABC中 ， sinAcosB＝ 1－ cosAsinB， 则△ ABC的形状为 ________． • [答案 ] 直角三角形 • [解析 ] 由题意得 sinAcosB＋ cosAsinB＝ 1， • 即 sin(A＋ B)＝ 1. 又 ∵ 0 A ＋ B π ， ∴ A ＋ B ＝π2，即 C ＝π2， ∴△ ABC 为直角三角形． [ 例 4] 已知 c os( α － β ) ＝－1213， c os( α ＋ β ) ＝1213，且 α－ β ∈π2， π ， α ＋ β ∈3π2， 2π . 求 c os2 α ， c os2 β 及角 β 的值． [ 解析 ] 由 α － β ∈π2， π ，且 c os( α － β ) ＝－1213，得sin( α － β ) ＝513. 由 α ＋ β ∈3π2， 2π ，且 c os( α ＋ β ) ＝1213. 得 sin( α ＋ β ) ＝－513. ∴ c os2 α ＝ c os[ ( α ＋ β ) ＋ ( α － β )] ＝ c os( α ＋ β ) c os ( α － β ) － sin( α ＋ β ) sin( α － β ) ＝－12131213－－513513＝－1 19169. c os2 β ＝ c os[ ( α ＋ β ) － ( α － β )] ＝ c os( α ＋ β ) c os ( α － β ) ＋ sin( α ＋ β ) sin( α － β ) ＝－12131213＋－513513＝－ 1. 又 ∵ α ＋ β ∈32π ， 2π ， α － β ∈π2， π ⇒ 2 β ∈π2，3π2. ∴ 2 β ＝ π ，则 β ＝π2. • [点评 ] 讨论角的范围时， α－ β一般看作 α＋ (－ β)，先求出－ β的范围，再求 α＋ (－ β)的范围，可有效避免出错． 若 sin3π4＋ α ＝513， c osπ4－ β ＝35，且 0 α π4 β 3π4，则 c。