高二数学解三角形

高二数学解三角形内容摘要：

1a ＋ k2b ＋ k3ck1sin A ＋ k2sin B ＋ k3sin C( 其中 k kk3不同时为零 ) ． ② 设asin A＝bsin B＝csin C＝ k ， 则 a ＝ k sin A ， b ＝ k sin B ， c ＝ k sin C ， 确切地为： a ＝ 2 R sin A ， b ＝ 2 R sin B ， c ＝ 2 R si n C ( 其中 R为外接圆半径 ) ． si n A ＝a2 R， sin B ＝b2 R， sin C ＝c2 R. ③ 若 A B ，则 sin A sin B ； sin A sin B ，则 A B . ④ S △ABC＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc4 R. • 2．已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数。 • 利用数形结合和三角函数知识来分析．例如：已知 △ ABC的两边 a， b和角 A解三角形时，有以下方法： • 方法一：可以作图，利用数形结合加以说明．如下表所示： • 具体解题时，作出已知角 A，边长 b，以点 C为圆心，以边长 a为半径画弧，与射线 AB的公共点 (除去顶点 A)的个数即为三角形解的个数． 方法二：根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得 sin B ＝b sin Aa. 当b sin Aa1 时，则无解； 当b sin Aa＝ 1 时，则有一解； 当b sin Aa1 时，如果 a ≥ b ，即 A ≥ B ，则 B 一定为锐角，则有一解；如果 a b ，即 A B ，则有两解 . [ 例 1] 在 △ AB C 中，已知 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， B ＝ 45176。 ，求角 A 、 C 和边 c . • 分析： 从方程的观点看，正弦定理有三个等式，可视为三个方程，每个方程都含有四个量，知其三个量，便可求得第四个量．本题已知 △ ABC的两边和其中一边的对角，运用正弦定理可求出角 A，然后再利用三角形内角和公式求得角 C，进而求出边 c. 解析： 由正弦定理：asin A＝bsin B， 得 sin A ＝a sin Bb＝3 sin45176。 2＝32. ∵ a b ， ∴ A ＝ 60176。 或 A ＝ 120176。 . 当 A ＝ 60176。 时， C ＝ 180176。 － 45176。 － 60176。 ＝ 75176。 ， c ＝b sin Csin B＝2 sin7 5176。 sin45176。 ＝6 ＋ 22； 当 A ＝ 120176。 时， C ＝ 180176。 － 45176。 － 120176。 ＝ 15176。 ， c ＝b sin Csin B＝2 sin15176。 sin45176。 ＝6 － 22. 综上可知， A ＝ 60176。 ， C ＝ 75176。 ， c ＝6 ＋ 22， 或 A ＝ 120176。 ， C ＝ 15176。 ， c ＝6 － 22. • [变式训练 1] 在 △ ABC中， c＝ 10， A＝45176。 ， C＝ 30176。 ，求 a、 b和 B. 解析： ∵asin A＝csin C， ∴ a ＝c sin Asin C＝10 sin45176。 sin30176。 ＝ 10 2 . B ＝ 180176。 － ( A ＋ C ) ＝ 180176。 － ( 45176。 ＋ 30176。 ) ＝ 105176。 ， ∴bsin B＝csin C. ∴ b ＝c sin Bsin C＝10 sin105176。 sin30176。 ＝ 20sin75176。 ＝ 20sin(45 176。 ＋ 30176。 ) ＝ 20 6 ＋ 24＝ 5( 6 ＋ 2 ) ． • [例 2] △ ABC中，内角 A、 B、 C的对边分别为 a， b， c，已知 b＝ 5， ∠ B＝ 30176。 ，若 c＝ ，解此三角形． 解析： ∵ b ＝ 5 ， c。