双曲线的定义与标准方程

双曲线的定义与标准方程内容摘要：

b2 ＝ 1 ，25a2 －8116 b2 ＝ 1 ， 令 m ＝1a2 ， n ＝1b2 . 则方程组可化为 32 m － 9 n ＝ 1 ，25 m －8116n ＝ 1 ， 解得 m ＝116，n ＝19.即 a2＝ 16 ，b2＝ 9. ∴ 所求方程为y216－x29＝ 1. 利用定义求方程 利用定义法求双曲线的标准方程 ， 首先找出两个定点 (即双曲线的两个焦点 )；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差 (或差的绝对值 )是否为常数 ， 这样确定 c和 a的值 ， 再由 c2＝ a2＋ b2求 b2， 进而求双曲线的方程 ． 例 2 在 △ ABC 中， | BC |＝ 8 ，点 A 满足 s i n B － s i n C＝12 s i n A .求点 A 的轨迹方程． 【思路点拨】 建系 ― → 得 B 、 C 坐标 ― →利用正弦定理― →a ， b ， c 的关系 ― → 点 A 的轨迹 ― →写出点 A 的轨迹方程 【解】 如图，以 BC 边所在的直线为 x 轴， BC的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则 B ( －4 , 0 ) ， C ( 4 , 0 ) ， ∵ s in B － s in C ＝12s in A ， ∴ 由正弦定理得 b － c ＝12a . 即 | AC |－ | AB |＝ 12| BC |. ∴ | AC |－ | AB |＝ 4. ∴ 点 A 是以 B 、 C 为焦点的双曲线的左支 ( 除去与x 轴的交点 ) ． ∵ c ＝ 4 ， a ＝ 2 ， ∴ b2＝ 1 2 . ∴ 其方程为x24－y212＝ 1( x ＜－ 2) ． ∴ 点 A 的轨迹是双曲线的一支 ( 除去一点 ) ． 【 名师点评 】 如果动点的轨迹可以较容易地判断符合直线 、 圆 、 椭圆或者双曲线的定义 ，通常运用待定系数法求出相关的基本量的值即可 ． 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题 ， 一是要注意定义条件 ||PF1|－ |PF2||＝ 2a的变形使用 ，特别是与 |PF1|2＋ |PF2|2， |PF1||PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合 ， 经常利用余弦定理 、正弦定理等知识 ， 同时要注意整体思想的应用 ． 双曲线定义的应用 设双曲线x24－y29＝ 1 ， F1， F2是其两个焦点，点 M 在双曲线上． ( 1 ) 若 ∠ F1MF2＝ 9 0 176。 ，求 △ F1MF2的面积； ( 2 ) 若 ∠ F1MF2＝ 6 0 176。 时， △ F1MF2的面积是多少。 若 ∠。