高二数学平面向量

高二数学平面向量内容摘要：

2 ， 所以向量 b ＋ c 的长度的最大值为 2. 方法二 ∵ | b |＝ 1 ， | c | ＝ 1 ， | b ＋ c |≤ | b |＋ | c |＝ 2 ， 当 c os β ＝－ 1 时，有 b ＋ c ＝ ( － 2,0) ，即 | b ＋ c | ＝ 2. 所以向量 b ＋ c 的长度的最大值为 2. ( 2 ) 方法一 由已知可得 b ＋ c ＝ ( c o s β － 1 ， s i n β ) ， a ( b ＋ c ) ＝ c o s α c o s β ＋ si n α s i n β － c o s α ＝ c o s( α － β ) － c o s α . ∵ a ⊥ ( b ＋ c ) ， ∴ a ( b ＋ c ) ＝ 0 ，即 c o s( α － β ) ＝ c o s α . 由 α ＝π4，得 c o sπ4－ β ＝ c o sπ4， 即 β －π4＝ 2 k π177。 π4( k ∈ Z ) ， ∴ β ＝ 2 k π ＋π2或 β ＝ 2 k π ， k ∈ Z ， ∴ c o s β ＝ 0 或 c o s β ＝ 1. 方法二 若 α ＝π4，则 a ＝22，22. 又由 b ＝ ( c os β ， sin β ) ， c ＝ ( － 1,0) 得 a ( b ＋ c ) ＝22，22 ( c os β － 1 ， sin β ) ＝22c os β ＋22sin β －22. ∵ a ⊥ ( b ＋ c ) ， ∴ a ( b ＋ c ) ＝ 0 ， 即 c os β ＋ sin β ＝ 1. 平方后化简得 2sin β c os β ＝ 0 ， 解得 c os β ＝ 0 或 c os β ＝ 1. 经检验， c os β ＝ 0 或 c os β ＝ 1 满足题意． ∴ c os β ＝ 0 或 c os β ＝ 1. 探究提高 向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性． ( 1 ) 解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算； ( 2 ) 常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思想． 变式训练 3 ( 2020 江苏 ) 设向量 a ＝ ( 4c os α ， sin α ) ， b ＝ ( sin β ， 4c os β ) ， c ＝ ( c os β ，－ 4sin β ) ． ( 1) 若 a 与 b － 2 c 垂直，求 tan ( α ＋ β ) 的值； ( 2) 求 | b ＋ c |的最大值； ( 3) 若 tan α tan β ＝ 16 ，求证： a ∥ b . ( 1) 解 因为 a 与 b － 2 c 垂直，所以 a ( b － 2 c ) ＝ 4c os α sin β － 8c os α c o s β ＋ 4sin α c os β ＋ 8sin α sin β ＝ 4sin( α ＋ β ) － 8c os( α ＋ β ) ＝ 0. 因此 tan ( α ＋ β ) ＝ 2. (2) 解 由 b ＋ c ＝ (sin β ＋ c os β ， 4c os β － 4sin β ) ， 得 | b ＋ c |＝ ( sin β ＋ c os β )2＋ ( 4c os β － 4sin β )2 ＝ 17 － 15si n 2 β ≤ 4 2 . 又当 β ＝－π4时，等号成立，所以 | b ＋ c |的最大值为 4 2 . (3) 证明 由 tan α tan β ＝ 16 得4c os αsin β＝sin α4c os β， 所以 a ∥ b . 规律方法总结 1 ． 利用数量积研究向量的平行和垂直 设 a ＝ ( x1， y1) ， a ＝ ( x2， y2) ，则 位置关系 向量式 坐标式 a ∥ b | a b |＝ | a | | b | x1y2－ x2y1＝ 0 a ⊥ b a b ＝ 0 x1x2＋ y1y2＝ 0 2. 利用数量积研究夹角问题 设〈 a ， b 〉＝ θ ，则 c o s θ ＝a b| a || b |， 数量积的符号 夹角 θ 的大小或范围 a b 0 θ 为锐角或零角 a b ＝ 0 θ ＝ 9 0 176。 a b 0 θ 为钝角或平角 3. 利用数量积求向量的长度 ( 或模 ) 条件 计算公式 a ＝ ( x ， y ) | a |＝ a2＝ x2＋ y2 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ，y 2 ) ＝ ( x 1 － x 2 )2＋ ( y 1 － y 2 )2 ||AB知能提升演练 一、选择题 1 ．已知向量 a ＝ ( 1,3) ， b ＝ (3 ， n ) ，若 2 a － b 与 b 共线， 则实数 n 的值是 ( ) A ． 3 ＋ 2 3 B ． 9 C ． 6 D ． 3 － 2 3 解析 2 a － b ＝ ( － 1 , 6 － n ) ， 由 2 a － b。