高三数学基本不等式

高三数学基本不等式内容摘要：

2) －5 ( t1－ t2)t1t2 ＝ (t1－ t2)1 －5t1t2. ∴g(t) 在 [1,2]上是减函数， ∴ g(t)min＝ g(2)＝ 2＋ ， ∴ f(x)min＝ ，等号成立的条件是 sin2 x＋ 1＝ 2. sin2 x＝ 1， sin x＝ 177。 1， ∴ x＝ kπ ＋ (k∈ Z)， 故 f(x)的最小值是 . 52 ＝92 92 92 π2 ＝ (t1－ t2) . ∵ t1t2且 t1， t2∈ [1,2]， ∴ t1－ t20， t1t2－ 50， 故 g(t1)－ g(t2)0， ∴ g(t1)g(t2)， t 1t 2 － 5t 1t 2 【 方法点评 】 (1)各数 (或式 )均为正； (2)和或积为定值； (3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可． 2．基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如： 2 a ba ＋ b ≤ ab ≤a ＋ b2 ≤a 2 ＋ b 22 ( a 0 ， b 0 ) ． 3．创设应用基本不等式的条件 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值． (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法． 1． (1)设 0x2，求函数 y＝ 的最大值． (2)已知 x0， y0且 x＋ y＝ 1，求 的最小值． 【 解析 】 (1)∵0x2 ， ∴ 03x6,8－ 3x20， 3 x ( 8 － 3x ) 8x ＋2y ∴ y ＝ 3x ( 8 － 3x ) ≤3x ＋ ( 8 － 3x )2＝82＝ 4 ， 当且仅当 3x ＝ 8 － 3x ，即 x ＝43时，取等号 ． ∴ 当 x ＝43时， y ＝ 3x ( 8 － 3x ) 的最大值是 4. ( 2 ) ∵ x 0 ， y0 ，且 x ＋ y ＝ 1 ， ∴8x＋2y＝8x＋2y(x ＋ y) ＝ 10 ＋8yx＋2xy≥ 10 ＋ 28yx2xy＝ 1 8 . 当且仅当8yx＝2xy，即 x ＝ 2y 时等号成立， ∴ 当 x ＝23， y ＝13时，8x＋2y有最小值 18. 证明不等式 (1)已知 a0， b0， a＋ b＝ 1，求证： ≥ 4. (2)证明： a4＋ b4＋ c4＋ d4≥4abcd. 【 思路点拨 】 (1)利用 a＋ b＝ 1将要证不等式中的 1代换，即可得证． (2)利用 a2＋ b2≥2ab 两两结合即可求证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条件． 【 自主探究 】 (1)方法一： ∵ a0， b0， a＋ b＝ 1， 1a ＋1b ∴1a＋1b＝a ＋ ba＋a ＋ bb＝ 2 ＋ba＋ab≥ 2 ＋ 2baab＝ 4( 当且仅当 a＝ b ＝12时等号成立 ) ． ∴1a＋1b≥ 4. ∴ 原不等式成立． 方法二： ∵ a0， b0， a＋ b＝ 1， ∴1a＋1b＝ (a ＋ b)1a＋1b ＝ 2 ＋ab＋ba≥ 2 ＋ 2abba＝ 4. ∴ 原不等式成立．。