高三数学离散型随机变量的均值与方差

高三数学离散型随机变量的均值与方差内容摘要：

第三次．某同学在 A处的命中率 q1为，在 B处的命中率为 先在 A处投一球，以后都在 B处投，用 ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 课堂互动讲练 ξ 0 2 3 4 5 P p1 p2 p3 p4 (1)求 q2的值； (2)求随机变量 ξ的数学期望 Eξ； (3)试比较该同学选择都在 B处投篮得分超过 3分与选择上述方式投篮得分超过 3分的概率的大小． 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 首先由 P(ξ＝ 0)＝ q2，从而可写出分布列．本题便可求解． 【 解 】 (1)由题设知， “ξ＝ 0”对应的事件为 “在三次投篮中没有一次投中 ”，由对立事件和相互独立事件性质可知 P(ξ＝ 0)＝ (1－ q1)(1－ q2)2＝ ，解得 q2＝ . (2)根据题意 p1＝ P(ξ＝ 2)＝ (1－ q1)C21(1－ q2)q2 ＝ 2 ＝ . p2＝ P(ξ＝ 3)＝ q1(1－ q2)2＝ (1－)2＝ . p3＝ P(ξ＝ 4)＝ (1－ q1)q22＝ ＝ . p4＝ P(ξ＝ 5)＝ q1q2＋ q1(1－ q2)q2 ＝ ＋ ＝ . 因此 Eξ＝ 0 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ . 课堂互动讲练 (3)用 C表示事件 “该同学选择第一次在 A处投，以后都在 B处投，得分超过 3分”，用 D表示事件 “该同学选择都在 B处投，得分超过 3分 ”，则 P(C)＝ P(ξ＝ 4)＋ P(ξ＝ 5)＝ p3＋ p4 ＝ ＋ ＝ . P(D)＝ q22＋ C21q2(1－ q2)q2 ＝ ＋ 2 ＝ . 故 P(D)P(C)． 即该同学选择都在 B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在 A处投以后都在 B处投得分超过 3分的概率． 课堂互动讲练 【 名师点评 】 (1)随机变量的均值等于该随机变量的每一个取值与该取值时对应的概率乘积的和． (2)均值 (数学期望 )是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，均值 (数学期望 )是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均． (3)EX是一个实数，即 X作为随机变量是可变的，而 EX是不变的． 课堂互动讲练 利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算．常用性质有： (1)EC＝ C(C为常数 )； (2)E(aX＋ b)＝ aEX＋ b(a， b为常数 )； (3)E(X1＋ X2)＝ EX1＋ EX2；E(aX1＋ bX2)＝ aE(X1)＋ bE(X2)； (4)D(aX＋ b)＝ a2DX. 课堂互动讲练 考点三 均值和方差性质的应用 课堂互动讲练 例 3 已知 X的概率分布为 求： (1)EX， DX； (2)设 Y＝ 2X＋ 3，求 EY， DY. X － 1 0 1 P 12 13 16 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 利用性质 E(aξ＋ b)＝ aEξ＋ b， D(aξ＋ b)＝ a2Dξ求解． 【解】 ( 1 ) EX ＝ x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ x 3 p 3 ＝ ( － 1) 12＋ 0 13＋ 1 16＝－13； DX ＝ ( x 1 － EX )2p 1 ＋。