高一数学平面解析几何

高一数学平面解析几何内容摘要：

x轴的直线，故要进行讨论 . （ 2）使用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式 . 举一反三 3. 与直线 2x+3y+5=0平行，且距离等于 的直线方程是 ——. 13答案 2x+3y+18=0或 2x+3y8=0 解析 ∵ 所求直线 与直线 :2x+3y+5=0平行， ∴ 可设 ： 2x+3y+C=0,由 与 距离为 ，得 ,解得 C=18或 C=8, ∴ 所求直线 的方程为 2x+3y+18=0或 2x+3y8=0. l 0ll l 0l 135 1313C  l题型三 交点及直线系问题 【 例 3】 求经过直线 :3x+2y1=0和 :5x+2y+1=0的交点且垂直于直线 :3x5y+6=0的直线 的方程 . 1l 2l3l l分析 本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关系求解，也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解 . 3x+2y1=0, 解 方法一：由 得 , 的交点 P(1,2). 5x+2y+1=0, 又 的斜率 ∴ 的斜率 k= , ∴ :y 2= (x+1),即 5x+3y1=0. 方法二：由 ⊥ ,可设 :5x+3y+C=0. ∵ , 的交点可以求得为 P(1,2). ∴5 (1)+3 2+C=0,∴C= 1, ∴ :5x+3y 1=0. 1l 2l3l 3 3,5k  l 53l 53l 3l l1l 2ll方法三： ∵ 过 , 的交点， 故设 :3x+2y1+λ(5x+2y+1)=0 ， 即（ 3+5λ ） x+(2+2λ)y+( 1+λ)=0 ， ∴ ,解得 λ= , 代入上式整理得 :5x+3y1=0. l 1l 2ll3 5 52 2 3  15l学后反思 三种解法都能比较迅捷地解决问题，但方法一、方法二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数之类的，则要进行分类讨论；运用直线系方程时，则必须对直线系中不包含的直线进行检验 .因此，本题的三种解法应该是各有优缺点 . 举一反三 4. 已知两直线 :x+2=0, :4x+3y+5=0,定点 A(1,2),求过 , 的交点 且与点 A的距离等于 1的直线 . 1l 2l 1l 2ll解析 方法一： , 的交点为（ 2， 1） . 若直线 斜率存在，设所求的直线方程为 y1=k(x+2), 即 kxy+2k+1=0. ① ∵ 所求直线 与点 A(1,2)的距离为 1, ∴ , 得 k= ,代入① ,得 所求直线 的方程为 4x+3y+5=0. 若直线 斜率不存在，即判断过点（ 2， 1）且与 y轴平行的直线 x=2是否 符合所求直线 的条件 . ∵ 点 A（ 1， 2）到直线 x=2的距离为 1， ∴ 直线 x=2，即 x+2=0也符合直线 的要求， 故所求直线 的方程是 x+2=0和 4x+3y+5=0. 1l 2lll22 2 1 11kkk    43lllll方法二： , 的交点为（ 2， 1）， 过 , 交点的直线系方程是（ x+2） +λ(4x+3y+5)=0, λ 是参数，化简得 (1+4λ)x+3λy+(2+5λ)=0 ， ② 由 ,得 λ=0. 代入方程②，得 x+2=0. 又 ∵ 直线系方程②中不包含 , ∴ 应检验 是否也符合所求 的条件 . ∵ 点（ 1， 2）到 的距离为 ∴ 也符合要求， 故所求直线 的方程是 x+2=0和 4x+3y+5=0. 1l 2l1l 2l        221 1 4 2 3 2 5 11 4 3          2l2l l2l 22465 143   2ll题型四 对称问题 【 例 4】 (12分 )光线沿直线 :x2y+5=0射入，遇直线 :3x2y+7=0后反 射，求反射光线所在的直线方程 . 1l l分析 本题用光学原理得入射光线与反射光线所在的直线关于直线 对称，用对称点方法求出入射光线上一点 P关于 的对称点，再由两点式写出方程 . ll 3x2y+7=0, x=1, 解 方法一：由 得 x2y+5=0, y=2, 即反射点 M的坐标为 (1,2)…………………………………… ..2′ 又取直线 x2y+5=0上一点 P（ 5， 0），设点 P关于直线 的对称点为 由 PP′⊥ , 可知 ………………………… .. 4′ 而 PP′ 的中点 Q的坐标为  l 0039。 ,P x yl 039。 0235PPykx   005 ,22xy又 Q点在 上， ∴ 联立 解得 l 0053 2 7 022xy     00002 ,533 5 7 02yxxy   0017133213xy即 P′ 点坐标为 …………………………… ...10′ 反射光线过 M(1,2)和 P′ 根据直线的两点式方程 ,可得 反射光线所在的方程为 29x2y+33=0…………………………… .12 17 32,13 1317 32,13 13方法二：设直线 x2y+5=0上任意一点 关于直线 的对称点 P′(x,y), 则 ……………………………………… 3′ 又 PP′ 的中点 在 上，  00,P x y l0023yyxx 00,22x x y yQ l∴ , …………………………………… 6′ 由 …………………………………………………………………… ..9′ 代入方程 x2y+5=0中，化简得 29x2y+33=0, 即所求反射光线所在直线方程为 29x2y+33=0……………… ..12′ 003 2 7 022x x y y     00002 ,33 7 02yyxxxx yy       005 1 2 4 2131 2 5 2 813xyxxyy     学后反思 比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的 .其中，方法一通过求点关于直线的对称点坐标，用两点式方程求解；方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程，是求解曲线关于直线对称问题的通法 . 举一反三 5. 已知 A(7,4)关于直线 的对称点为 B（ 5， 6），则直线 的方程是 ( ) A. 5x+6y11=0 B. 6x5y1=0 C. 6x+5y11=0 D. 5x6y+1=0 l l解析 ∵ AB的中点（ 1， 1）在直线 上 , 又 ,即所求直线的斜率 k= , ∴ 所求直线 的方程为 y1= (x1),即 6x5y1=0. l56ABk  65l 65答案 B 易错警示 【 例 】 已知一直线 经过点 P(1,2)且与点 A(2,3)和 B（ 0， 5）距离相等，求此直线的方程 . l错解 方法一：设所求直线方程为 y2=k(x1), 即 kxyk+2=0， ∴ ,即｜ k1｜ =｜ k7｜， 解得 k=4， ∴ 所求直线方程为 4xy2=0. 方法二：由已知 ∥ AB,又 ∴ :y2=4(x1)，即 4xy2=0. 222 3 2 0 5 211k k kkk     l 35 42ABk l错解分析 方法一中忽视了斜率可能不存在的情况，方法二中忽视 了 可以过 AB中点的情况 . l正解 方法一：当 斜率不存在时，直线方程为 x=1,满足条件 . 当斜率存在时，解法同错解中 “ 方法一 ” . 方法二：当 过 AB中点时，直线方程为 x=1. 当 ∥ AB时，解法同错解中 “ 方法二 ” . 综上 ,直线 的方程为 x=1或 4xy2=0. llll考点演练 10. (2020青岛模拟）平行四边形两邻边方程是 x+y+1=0和 3xy+4=0,对 角线交点为（ 3， 3），则另两边的方程为 ——和 ——. 解析 方法一：所求直线与已知直线关于（ 3， 3）中心对称，故方程为 （ 6x） +(6y)+1=0和 3(6x)(6y)+4=0,即 x+y13=0和 3xy16=0. 方法二：所求直线与已知直线分别平行，且过已知两直线的交点关于（ 3， 3）的对称点 .设 :x +y+ =0, :3xy+ = x+y+1=0, x= 标满足 解得 3xy+4=0, y= 即 ,它关于（ 3， 3）的对称点为 将 代入 , ，解得 =13, =16. 所以所求直线 :x+y13=0, :3xy16=0. 1l 2l 541451,44 29 23,4429 23,44 1l 2l1c 2c1c 2c1l 2l答案 x+y13=03xy16=0 11. 已知正方形的中心为直线 2xy+2=0与 x+y+1=0的交点，正方形一边所 在的直线方程为 x+3y5=0,求正方形的其他三边所在的直线方程 . 解析 设与直线 :x+3y5=0平行的边所在的直线方程为 :x+3y+c=0. 2xy+2=0， 由 得正方形的中心坐标 P(1,0), x+y+1=0 由点 P到两直线 , 的距离相等，得 , 解得 c=5或 c=7(5不合题意，舍去 )， ∴ :x+3y+7=0. 又 ∵ 正方形另两边所在直线与 垂直， ∴ 设另两边方程为 3xy+a=0,3xy+b=0. ∵ 正方形中心到四条边的距离相等， ∴ ，解得 a=9或 a=3, ∴ 正方形的其他两条边所在的直线方程为 3xy+9=0,3xy3=0. ∴ 正方形的其他三边所在的直线方程为 3xy+9=0,x+3y+7=0,3xy3=0. l1ll 1l2 2 2 21 5 11 3 1 3c   1ll2 2 2 23 1 53 1 1 3a   12. 光线从 A(3,4)点射出，到 x轴上的 B点后，被 x轴反射到 y轴上的 C点，又被 y轴反射，这时反射线恰好过点 D（ 1， 6），求 BC所在直线的方程 . 解析 方法一：如图所示，依题意， B点在原点 O左侧，设其坐标为（ a,0） ,由反射角等于入射角，得 ∠ 1=∠2,∠3=∠4, ∴。