直线的方向向量和平面的法向量

直线的方向向量和平面的法向量内容摘要：

5 ． (2020 四川省成都七中期末 ) 已知直线 l 过点 P (1,0 ，－1) 且平行于向量 a ＝ (2,1,1) ，平面 α 过直线 l 与点 M (1,2, 3) ，则平面 α 的法向量 不可能． ． ．是 ( ) A ． (1 ，－ 4,2) B ． (14，－ 1 ，12) C ． ( －14， 1 ，－12) D ． (0 ，－ 1,1) • [答案 ] D [ 解析 ] 因为 PM→＝ (0,2,4) ，直线 l 平行于向量 a ，若 n 是平面 α 的法向量，则必须满足 n a ＝ 0n PM→＝ 0，把选项代入验证，只有选项 D 不满足，故选 D ． 典例探究学案 •根据方向向量确定两直线位置关系 设 a 、 b 分别是不重合直线 l 1 、 l 2 的方向向量，根据下列条件判断 l 1 、 l 2 的位置关系 ． (1) a ＝ (2 ，－ 2 ，－ 2) ， b ＝ (6 ，－ 6 ，－ 6) ； (2) a ＝ (1 ，－ 2 ，－ 2) ， b ＝ ( － 2 ，－ 3,2) ； (3) a ＝ (0,0 ，－ 1) ， b ＝ (0,0,4) ． • [分析 ] l l2的方向向量分别为 a， b， l1与l2不重合，则 l1∥ l2⇔a∥ b， l1⊥ l2⇔a⊥ b． • [解析 ] (1)显然有 b＝ 3a，即 a∥ b， • ∴ l1∥ l2． • (2)ab＝－ 2＋ 6－ 4＝ 0， ∴ a⊥ b， ∴ l1⊥ l2． • (3)显然 b＝－ 4a，即 a∥ b，故 l1∥ l2． • [方法规律总结 ] 判断两不重合直线位置关系，只需取两直线的方向向量 a、 b，若 ab＝ 0，则两直线垂直；若 a∥ b，则两直线平行． 直线 a 与 b 的方向向量分别为 e ＝ ( 2,1 ，－ 3) 和 n ＝ ( － 1,1 ，－13) ，则 a 与 b 的位置关系是 ( ) A ． 平行 B ． 垂直 C ． 相交 D ． 重合 • [答案 ] B [ 解析 ] ∵ e n ＝ 2 ( － 1) ＋ 1 1 ＋ ( － 3) ( － 13 ) ＝－ 2 ＋ 1 ＋1 ＝ 0 ， ∴ e ⊥ n ， ∴ a ⊥ b ． •求平面的法向量 已知 A (1,0,1) 、 B (0,1,1 ) 、 C (1,1,0) ，求平面 ABC的一个法向量 ． [ 分析 ] 设 平面 ABC 的一个法向量为 n ，则 n 垂直于平面ABC 内的任意向量，不妨取 AB→ 、 BC→ ，求得 n ． [ 解析 ] 设平面 ABC 的一个法向量为 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 由题意 AB→＝ ( － 1,1,0) ， BC→＝ (1,0 ，－ 1) ． ∵ n ⊥ AB→且 n ⊥ BC→， ∴ n AB→＝－ x ＋ y ＝ 0 ，n。