充要条件习题课

充要条件习题课内容摘要：

成立，则 q一定成立．但 p不成立时， q未必不成立． • p是 q的必要条件是说：若 p不成立，则 q一定不成立．若要 q成立，则必须有 p成立． • p是 q的充要条件是说，有了 p成立，就一定有 q成立． p不成立时，一定有 q不成立． • 4．证明充要条件时，先分清命题的条件和结论，再区分充分性与必要性，最后证明． • p是 q的充要条件，充分性 p⇒q，必要性 q⇒p；p的充要条件是 q，充分性 q⇒p，必要性 p⇒q. • 已知等比数列 {an}、 {bn}的公比分别为 q q2，则 q1＝ q2是数列 {an＋ bn}为等比数列的 ( ) • A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 • C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 • [答案 ] B [ 解析 ] 若数列 { a n ＋ b n } 为等比数列，则 ( a n ＋ b n )2＝ ( a n － 1 ＋b n － 1 ) ( a n ＋ 1 ＋ b n ＋ 1 ) ，进一步有 2 a n b n ＝ a n － 1 b n ＋ 1 ＋ a n ＋ 1 b n － 1 ⇒ 2 a 1 qn － 11b 1 qn － 12 ＝ a 1 qn － 21 b 1 qn2 ＋ a 1 qn1 b 1 qn － 22 ⇒ q22 ＋ q21 － 2 q 1 q 2 ＝ 0 ⇒ ( q 1 － q 2 )2＝0 ⇒ q 1 ＝ q 2 . 当 q 1 ＝ q 2 时， a n ＋ b n 可能为 0. 例如 a n ＝ 1 ， b n ＝－ 1 ，此时q 1 ＝ q 2 ＝ 1 ， a n ＋ b n ＝ 0 ， { a n ＋ b n } 不是等比数列，所以选 B. 设 p 、 q 是两个命题， p ： | x |－ 30 ， q ： x2－56x ＋160 ，则 p 是 q 的 ( ) A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分又不必要条件 • [答案 ] A • 集合关系与充要条件 [ 解析 ] 使命题 p 成立的 x 的集合为 A ＝ { x | x 3 或 x － 3} ， 使命题 q 成立的 x 的集合为 B ＝ { x | x 12或 x 13} ， ∵ A B ，即若 x ∈ A ，则 x ∈ B .但 x ∈ B 不一定有 x ∈ A ， ∴ p 为 q 的充分不必要条件 ． [ 方法规律总结 ] 1. 如果条件 p 与结论 q 是否成立都与数集有关 ( 例如方程、不等式的解集、参数的取值范围等 ) ，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行 ． 2 ． 用集合的关系判断充要条件时，关键抓住已知 A ＝{ x | p ( x )} ， B ＝ { x | q ( x )} ，则 A ⊆ B ⇔ p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件 ． 命题 p ： sin x cos x ，命题 q ：π4 x π ，则 p 是 q 的 ________条件 ． • [答案 ] 必要不充分 [ 解析 ] 使命题 p 成立的 x 的集合为 A ＝ { x |2。