三角函数的应用

三角函数的应用内容摘要：

cos( +x)= (cosxsinx), 4  2 2 sin( +x)= (cosx+sinx), 4  2 2 ∴ cosxsinx= 2 , cosx+sinx= 2 . 3 5 4 5 解得 sinx= 2 , cosx= , tanx=7. 10 7 2 10 1tanx sin2x+2sin2x ∴ = 1tanx 2sinxcosx+2sin2x = . 75 28 2( )( )+2( )2 2 10 10 7 2 10 7 2 17 = 应用题举例 30cm, 当它的半径和圆心角各取什么值时 , 才能使扇形的面积最大 ? 最大面积是多少 ? 解 : 设扇形的 半径为 r, 圆心角为 , 面积为 S, 弧长为 l , 依题意得 l +2r=30. 则 l =302r(0r15). ∴ S= l r=(15r)r 1 2 (15r)+r 2 ≤ [ ]2 =. 当且仅当 15r=r 即 r= 时取等号 . 故当 r= 时 , S 取最大值 . 此时 , l =15. ∴ = =2. l r 答 : 扇形的 半径为 , 圆心角为 2rad 时 , 扇形的面积最大 , 最大面积是 . , 所在圆 的半径为 R. (1)若 =60186。 , R=10cm, 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。 (2)若扇形的周长是一定值 C(C0), 当  为多少弧度时 , 该扇形有最大面积 ? 解 : (1)设扇形的弧长为 l , 该弧所在的弓形面积为 S弓 . ∵ =60186。 = , R=10cm, 3  ∴ l = (cm). 3 10 ∴ S弓 =S扇形 S三角形 =  10 102sin60186。 3 10 1 2 1 2 =50( )(cm2). 3  3 2 (2)∵ 扇形的周长 C=2R+l =2R+R, 2+ C ∴ R= . ∴ S扇形 = R2= ( )2 1 2 1 2 2+ C = C2 1 2  4+4+2 =  C2 2 1 4++  4 ≤  C2 2 1 4+2   4 = . C2 16 C2 16 ∴ 当且仅当 = 即 =2(=2舍去 )时 , 该扇形有最大面  4 积 cm2. A B C D P Q R S T , ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮 , 其中 AST 是一半径为 90m 的扇形小山 , 其余部分都是平地 . 一开发商想在平地上建一个矩形停车场 , 使矩形的一个顶点在 ST 上 , 相邻两边 CQ, CR 落在正方形的边 BC, CD 上 , 求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最小值 . ⌒ 解 : 连结 AP, 设 PAB=(0186。 ≤ ≤ 90186。 ), 延长 RP, 交 AB 于 M,  M 则 AM=90cos, MP=90sin. ∴ PQ=MB=10090cos, PR=MRMP=10090sin. ∴ S矩形 PQCR=PQPR=(10090cos)(10090sin) =100009000(sin+cos)+8100sincos 令 t=sin+cos(1≤ t≤ 2 ), 则 sincos= . t21 2 ∴ S矩形 PQCR=100009000t+4050(t21) 故当 t= 时 , S矩形 PQCR 有最小值 950m2。 9 10 当 t= 2 时 , S矩形 PQCR 有最大值 (140509000 2 )m2. =4050t29000t+5950. E=k (其中 k 是一个与电光强度有关的常数 ), 问要使桌子边缘处最亮即 E 最大 , 应怎样选择电灯悬挂的高度 h(指电灯离开桌。