高三数学直线的交点坐标与距离公式

高三数学直线的交点坐标与距离公式内容摘要：

)2＋ (y1－ y2)2＝ 25② 联立 ①② 可得  x 1 － x 2 ＝ 5y1 － y 2 ＝ 0或  x 1 － x 2 ＝ 0y1 － y 2 ＝ 5. 由上可知，直线 l的倾斜角分别为 0176。 或 90176。 ， 故所求的直线方程为 x＝ 3或 y＝ 1. 对称问题 求直线 l1： y＝ 2x＋ 3关于直线 l： y＝ x＋ 1对称的直线 l2的方程． 【 思路点拨 】 转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解． 【 自主探究 】 方法一： 由 y ＝ 2x ＋ 3y ＝ x ＋ 1 知直线 l 1 与 l 的交点坐标为 ( － 2 ，－ 1) ， 设直线 l2的方程为 y＋ 1＝ k(x＋ 2)， 即 kx－ y＋ 2k－ 1＝ 0. 在直线 l上任取一点 (1,2)， 由题设知点 (1,2)到直线 l l2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 |k － 2 ＋ 2k － 1|( － 1 )2＋ k2 ＝|2 － 2 ＋ 3|22＋ ( － 1 )2 ， 解得 k ＝12(k ＝ 2 舍去 ) ， ∴ 直线 l2的方程为 x－ 2y＝ 0. 方法二：设所求直线上一点为 P(x， y)， 则在直线 l1上必存在一点 P1(x0， y0)与点 P关于直线 l对称． 由题设：直线 PP 1 与直线 l 垂直，且线段 PP 1 的中点 P 2 (x ＋ x 02，y ＋ y 02)在直线 l 上 ． ∴ y 0 － yx 0 － x1 ＝－ 1y ＋ y 02＝x ＋ x 02＋ 1，变形得 x 0 ＝ y － 1y 0 ＝ x ＋ 1， 代入直线 l1： y＝ 2x＋ 3得 x＋ 1＝ 2(y－ 1)＋ 3， 整理得 x－ 2y＝ 0. 所以所求直线方程为 x－ 2y＝ 0. 【 方法点评 】 常见的对称问题： (1)中心对称 ①若点 M(x1， y1)及 N(x， y)关于 P(a， b)对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥ l2，由点斜式得到所求直线方程． (2)轴对称 ①点关于直线的对称 若两点 P1(x1， y1)与 P2(x2， y2)关于直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0对称，则线段 P1P2的中点在对称轴 l上，而且连接 P1P2的直线垂直于对称轴 l，由方程组 可得到点 P1关于 l对称的点 P2的坐标 (x2， y2)(其中 A≠ 0， x1≠ x2)． ②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行． 2．在△ MPQ中，已知点 M的坐标为 (3,5)，点 P在直线 l： x－ 2y＋ 2＝ 0上，点 Q在 y轴上，当 P、 Q在什么位置时，△ MPQ的周长最小。 【 解析 】 如图所示，易得点 M(3,5)关于 y轴的对称点 M2(3,5)，关于直线 l的对称点 M1(5,1)， 则直线 M1M2的方程为 x+2y7=0. 解得直线 M1M2与 y轴的交点 Q . 又解方程组 解得交点 P的坐标为 则△ MPQ的周长为 MQ+PQ+MP=M2Q+PQ+M1P=M1M2. 故此时△ MPQ的周长最小． 直线系方程 求经过直线 l1： 3x＋ 2y－ 1＝ 0和 l2： 5x＋ 2y＋ 1＝ 0的交点，且垂直于直线 l3： 3x－ 5y＋ 6＝ 0的直线 l的方程． 【 思路点拨 】 (1)先求交点，然后根据 l3的斜率求出 l的斜率，利用点斜式写出方程； (2)利用直线系来求． 方法二： ∵ l⊥ l3，故 l是直线系 5x＋ 3y＋ C＝。