高三数学平面和空间直线

高三数学平面和空间直线内容摘要：

∴ FG ∥ BD ，且 FG ＝23BD . 故 EH ∥ FG 且 EH ≠ FG . 即四边形 EFG H 为梯形，从而 EF与 GH 必相交，设交点为 P . ∵ P ∈ EF ， EF ⊂ 平面 ABC ， ∴ P ∈ 平面 ABC . 同理 P ∈ HG ， HG ⊂ 平面 ADC ， ∴ P ∈ 平面 ADC . 又 ∵ 平面 ADC ∩ 平面 ABC ＝ AC ， ∴ P ∈ AC ，即 EF 、 GH 、 AC 交于一点． 1. 证明空间三线共点问题．可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后再证另两条直线的交点在此直线上． 2 ．解决多线共点的方法，即先证明其中两条直线交于一点，再证明这一点在其他直线上或其他直线都经过这一点． • 证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线往往是两平面的交线． • 3．空间四边形 (即四个点不在同一平面内的四边形 )是一个很常见的图形，它的性质很多，诸如它的两组对边都是异面直线，两条对角线也是异面直线，各边中点的连线组成平行四边形等，做题时要注意这些隐含条件． 1 ．已知正方体 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 、F 分别为 AB 、 AA 1 的中点． 求证：直线 CE 、 D 1 F 必相交，且交点在AD 直线上． 【证明】 如图所示，延长 CE 、 D1F ， ∵ CE 与 DA 不平行， ∴ DA ∩ CE ＝ P . 又 ∵ E 为 AB 中点，且 AE ∥ CD ， ∴△ P AE ≌△ CBE . ∴ PA ＝ BC ＝ AD . 又 ∵ D1F 与 AD 不平行， ∴ D1F ∩ AD ＝ Q . 同理有 QA ＝ AD . ∴ PA ＝ QA . ∴ P 与 Q 重合． ∴ 直线 CE 、 D1F 相交于 P 点，且 P 在直线 AD 上． 点线共面问题 (2 008 年四川高考改编 ) 如图，四边形 ABE F 和 ABC D 都是直角梯形， ∠ BAD ＝ ∠ F AB ＝ 90176。 ， BC綊12AD ， BE 綊12FA ， G 、 H 分别为 FA 、 FD 的中点． (1 ) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2 ) C 、 D 、 F 、 E 四点是否共面。 为什么。 【思路点拨】 (1 ) G 、 H 为中点 → GH 綊12AD ，又 BC 綊12AD → GH 綊 BC (2 ) 方法一 证明 D 点在 EF 、 CH 确定的平面内． 方法二 延长 FE 、 DC 分别与 AB 交于 M ， M ′，可证 M 与 M ′重合，从而 FE 与 DC 相交． 【证明】 (1 ) 由已知 FG ＝ GA ， FH ＝ HD ， 可得 GH 綊12AD . 又 BC 綊12AD ， ∴ GH 綊 BC ， ∴ 四边形 BCHG 为平行四边形． (2) 由 BE 綊12AF ， G 为 FA 中点知， BE 綊 FG ， ∴ 四边形 BEFG 为平行四边形， ∴ EF ∥ BG . 由 (1) 知 BG ∥ CH ， ∴ EF ∥ CH ， ∴ EF 与 CH 共面． 又 D ∈ FH ， ∴ C 、 D 、 F 、 E 四点共面． • 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题． • 证明点线共面的常用方法 • (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． • (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定平面 β，最后证明平面 α、 β重合． • (3)反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论． 2 ．在正方体 AC 1 中， E 、 F 分别为 D 1 C 1 、 B 1 C 1 的中点，AC ∩ BD ＝ P ， A 1 C 1 ∩ EF ＝ Q . (1 ) 求证： D 、 B 、 F 、 E 四点共面； (2 ) 作 出 直 线 A 1 C 与平面BDEF 的交点 R 的位置． 【解析】 (1 ) 证明： ∵ E 、 F 分别是 C1D1和 B1C1的中点， ∴ EF ∥ B1。