高三数学函数与方程思想

高三数学函数与方程思想内容摘要：

f ( 0 ) 0f ( 1 ) ≥ 0， 即 － 1 － a 01 － a ≥ 0， ∴ － 1 a ≤ 1. 故 a 的取值范围是 ( － 1 , 1 ] ． 探究提高 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决． 变式训练 2 已知函数 f ( x ) ＝ 2 c o s2x ＋ c o s x － 1 ， g ( x ) ＝ c o s2x ＋ a ( c o s x ＋ 1) － c o s x － 3. 若 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ g ( x ) 的图 象在 (0 ， π) 内至少有一个公共点．试求 a 的取值范围． 解 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ g ( x ) 的图象在区间 (0 ， π) 内至少有一个公共点，即 y ＝ f ( x )y ＝ g ( x )有解，即令 f ( x ) ＝ g ( x ) ， c o s2x ＋ a (1 ＋ c o s x ) － c o s x － 3 ＝ 2 c o s2x ＋ c o s x － 1 ， a (1 ＋ c o s x ) ＝ ( c o s x ＋ 1)2＋ 1 ， ∵ x ∈ (0 ， π) ， ∴ 0 1 ＋ c o s x 2 ， ∴ a ＝ 1 ＋ c o s x ＋11 ＋ c o s x≥ 2. 当且仅当 1 ＋ c o s x ＝11 ＋ c o s x，即 c o s x ＝ 0 时 “ ＝ ” 成立． ∴ 当 a ≥ 2 时， y ＝ f ( x ) 与 y ＝ g ( x ) 所组成的方程组在 (0 ， π)内有解，即 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ g ( x ) 的图象至少有一个公共点． 题型三 函数与方程思想在不等式问题中的应用 例 3 已知 f ( t ) ＝ l o g 2 t ， t ∈ [ 2 ， 8] ，对于 f ( t ) 值域内的 所有的实数 m ，不等式 x2＋ mx ＋ 4 2 m ＋ 4 x 恒成立，求 x的取值范围． 思维启迪 解 ∵ t ∈ [ 2 ， 8] ， ∴ f ( t ) ∈12， 3 ，从而 m ∈12， 3 ， 原题可转化为 m ( x － 2) ＋ ( x － 2)20 恒成立． 当 x ＝ 2 时，不等式不成立． ∴ x ≠ 2 ， 令 g ( m ) ＝ m ( x － 2) ＋ ( x － 2)2为 m 的一次函数． 问题转化为 g ( m ) 在 m ∈12， 3 上恒大于 0.  g120 ，g ( 3 ) 0 .解得 x 2 或 x － 1. 故 x 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (2 ，＋ ∞ ) ． 求 f ( t ) 的值域 → 变更主元，将 m 看作主元 → 构造 g ( m ) ＝ m ( x － 2) ＋ x 2 － 4 x ＋ 4. 探究提高 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数． 变式训练 3 求自然数 a 的最大值，使不等式1n ＋ 1 ＋1n ＋ 2＋ „ ＋13 n ＋ 1 a － 7 对一切自然数 n 都成立． 解 令 f ( n ) ＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ „ ＋13 n ＋ 1 ( n ∈ N ) ． 对任意的 n ∈ N ， f ( n ＋ 1) － f ( n ) ＝13 n ＋ 2＋13 n ＋ 3＋13 n ＋ 4－1n ＋ 1 ＝23 ( n ＋ 1 ) ( 3 n ＋ 2 ) ( 3 n ＋ 4 )0 ， 所以 f ( n ) 在 N 上是增函数． 又 f ( 1) ＝1312， f ( 0 ) ＝ 1 ，对一切自然数 n ， f ( n ) a － 7 都成立的充要条件是 1 a － 7 ， 所以 a 8 ，故所求自然数 a 的最大值是 7. 题型四 函数与方程思想在解决优化问题中的应用 例 4 三棱锥 S — A BC ， SA ＝ x ，其余的所有棱长均为 1 ， 它的体积为 V . ( 1 ) 求 V ＝ f ( x ) 的解析表达式，并求此函数的定义域； ( 2 ) 当 x 为何值时， V 有最大值。 并求此最大值． 思维启迪 作出底面 AB C 的垂面，把原三棱锥看作以这个垂面为底面的两个三棱锥． 解 ( 1) 如图，取 BC 中点 D ，连结 SD 、 AD ，则 SD ⊥ BC ，AD ⊥ BC ， ∴ BC ⊥ 平面 S AD . 作 DE ⊥ SA 于 E ， 由于 SD ＝ AD ＝32， 则 E 是 SA 的中点， ∴ DE ＝ 322－x22＝123 － x2. S △S A D＝12x 123 － x2＝14x 3。