高三数学二元一次不等式与平面区域

高三数学二元一次不等式与平面区域内容摘要：

” . • 二元一次不等式 Ax＋ By＋ C0(或 0)表示直线 Ax＋ By＋ C＝ 0某一侧所有点组成的平面区域，其平面区域不包括边界，用虚线表示边界； Ax＋ By＋ C≥0(或 ≤0)，其平面区域包括边界，用实线表示边界． • [例 1] 画出下列二元一次不等式表示的区域： • (1)2x－ y－ 3≤0； • (2)3x＋ 2y－ 60. • 解析： (1)所求区域包含直线 l： 2x－ y－ 3＝0，用实线画出直线 l： 2x－ y－ 3＝ 0，将原点坐标 (0,0)代入 2x－ y－ 3，得 2 0－ 0－ 3＝－ 3，这样就可判定不等式 2x－ y－ 3≤0表示的区域与原点同侧，即包含原点的那一侧，如下图 (1)阴影部分． • (2)所求区域不包含直线 l： 3x＋ 2y－ 6＝ 0，用虚线画出直线 l： 3x＋ 2y－ 6＝ 0，将原点的坐标 (0,0)代入 3x＋ 2y－ 6，得 3 0＋ 2 0－ 6＝－ 6，则得不等式 3x＋ 2y－ 60所表示的区域与原点异侧，即不包含原点的那一侧 (不包括直线 l)，就是这个不等式表示的区域，如下图 (2)阴影部分． • [变式训练 1] 画出不等式 2x＋ y－ 60表示的平面区域． • 分析： 先画出直线 2x＋ y－ 6＝ 0确定边界，再代入 (0,0)确定区域． • 解析： 先画直线 2x＋ y－ 6＝ 0(画成虚线 )． • 取原点 (0,0)，代入 2x＋ y－ 6， • ∵ 2 0＋ 0－ 6＝－ 60， • ∴ 原点在 2x＋ y－ 60表示的平面 • 区域内，不等式 2x＋ y－ 60 • 表示的区域如图阴影部分． [ 例 2] 画出不等式组 x － y ＋ 2 ≥ 0 ，x ＋ 2 y 6 ，x ≥ 0 ，y ≥ 0表示的平面区域． • 解析： 不等式 x－ y＋ 2≥0表示直线 x－ y＋ 2＝ 0及右下方的点的集合，不等式 x＋ 2y6表示直线 x＋ 2y－ 6＝ 0左下方的点的集合，不等式 x≥0表示 y轴及 y轴右方的点的集合，y≥0表示 x轴及 x轴上方的点的集合．所以不等式组所表示的平面区域为如下图所示的阴影部分． • 分析： 画出不等式组所表示的平面区域，易求出它的面积． [ 变式训练 2] 在坐标平面上 ，不等式组 y ≥ x － 1 ，y ≤ － 3| x |＋ 1 所表示的平面区域的面积为 ( ) A. 2 B.32 C.3 22 D ． 2 解析： 由题意得下图中阴影部分面积即为所求． B 、C 两点横坐标分别为1－ 1. ∴ S △ ＝12 2 |12－ ( － 1) |＝32. 答案： B • 解关于实际问题中的平面区域的问题，首先由题目中的已知条件列出不等式 (组 )，然后画出其表示的平面区域． • [例 3] 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表： • 该厂有工人 200人，每天只能保证 160 kWh的用电额度，每天用煤不得超过 150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围． 品种 电力/kWh 煤 /t 工人 /人 甲 2 3 5 乙 8 5 2 • 分析： 设生产甲、乙两种产品 x t和 y t，根据条件写出线性约束条件，画出线性平面区域是解决此类问题的关键． • 解。