高一数学等比数列

高一数学等比数列内容摘要：

an＝ ap2， 求出 an， 进而求结论 ． 解析： ∵ a5a2n－ 5＝ 22n＝ an2， an0， ∴ an＝ 2n， ∴ log2a1＋ log2a3＋ … ＋ log2a2n－ 1 ＝ log2(a1a3… a2n－ 1)＝ log221＋ 3＋ … ＋ (2n－ 1) ＝ log22n2＝ C. 在等比数列的有关计算问题中 ， 结合整 体思维 、 方程思想 ， 灵活应用性质会获得事半功倍的效果 ． 变式探究 31 ： ( 20 10 年高考全国卷 Ⅰ ) 已知各项均为正数的等比数列 { a n } 中 ， a 1 a 2 a 3 ＝ 5 ，a 7 a 8 a 9 ＝ 10 ， 则 a 4 a 5 a 6 等于 ( ) ( A ) 5 2 ( B ) 7 ( C ) 6 ( D ) 4 2 解析： 由等比中项得 a 1 a 2 a 3 ＝ a 23＝ 5 ， a 7 a 8 a 9 ＝ a 83＝ 10 ， ∴ a 23 a 83＝ 50 ， ∴ a 56＝ 50 ， ∴ a 4 a 5 a 6 ＝ a 53＝ 50 ＝ 5 2 ，故选 A. 等比数列的综合问题 【例 4 】 ( 201 0 年皖南八校模拟 ) 已知数列 { a n } 中 ， a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 4 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2 ，n ∈ N*) ． ( 1 ) 证明 ： 数列 { a n ＋ 1 － a n } 是等比数列 ， 并求出数列 { a n } 的通项公式 ； ( 2 ) 记 b n ＝2  a n － 1 a n， 数列 { b n } 的前 n 项和为 S n ， 求使 S n ＞ 2 01 0 的 n 的最小值 ． 思路点拨： ( 1 ) 可对条件 a n ＋ 1 ＝ 3 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2 ， n ∈ N*) 进行变形，用定义证明 { a n ＋ 1 － a n }为等比数列，然后用累加法求 a n ； ( 2 ) 化简 b n ，再求其前 n 项和 S n ，最后根据 n ∈ N*确定使S n 201 0 的 n 的最小值 ． ( 1 ) 证明： ∵ an ＋ 1＝ 3 an－ 2 an － 1( n ≥ 2 ) ， ∴ ( an ＋ 1－ an) ＝ 2 ( an－ an － 1)( n ≥ 2 ) ， ∵ a1＝ 2 ， a2＝ 4 ， ∴ a2－ a1＝ 2 ≠ 0 ， an－ an － 1≠ 0 ， 故数列 { an ＋ 1－ an} 是首项为 2 ， 公比为 2 的等比数列 ， ∴ an ＋ 1－ an＝ ( a2－ a1) 2n － 1＝ 2n， ∴ an＝ ( an－ an － 1) ＋ ( an － 1－ an － 2) ＋ ( an － 2－ an － 3) ＋ … ＋ ( a2－ a1) ＋ a1 ＝ 2n － 1＋ 2n － 2＋ … ＋ 21＋ 2 ＝2  1 － 2n － 11 － 2＋ 2 ＝ 2n( n ≥ 2 ) 又 a1＝ 2 满足上式 ， ∴ an＝ 2n( n ∈ N*) ． ( 2 ) 解： 由 ( 1 ) 知 bn＝2  an－ 1 an＝ 2 ( 1 －1an) ＝ 2 ( 1 －12n ) ＝ 2 －12n － 1 ∴ Sn＝ 2 n － ( 1 ＋121 ＋122 ＋ … ＋12n － 1 ) ＝ 2 n －1 －12n1 －12＝ 2 n － 2 ( 1 －12n ) ＝ 2 n － 2 ＋12n － 1 由 Sn＞ 2 010 得 ： 2 n － 2 ＋12n － 1 ＞ 2020 ， 即 n ＋12n ＞ 1006 ， 又 ∵ n ∈ N*， ∴ n 的最小值为 100 6. 与等比数列有关的综合问题，通常涉及等差数列、函数或不等式，求解时，关键是细读题中信息，弄清各种信息的联系，正确利用等差、等比数列的定义和有关公式求解 ． 【例 1 】 ( 2020 年高 考广东卷 ) 已知数列 { a n } 为等比数列 ， S n 是它的前 n 项和 ， 若 a 2 a 3＝ 2 a 1 ， 且 a 4 与 2 a 7 的等差中项为54， 则 S 5 等于 ( ) ( A ) 35 ( B ) 33 ( C ) 31 ( D ) 29 解析： 设数列 { a n } 的公比为 q ，则  a 1 q a 1 q2＝ 2 a 1a 1 q3＋ 2 a 1 q6＝52，解得 a 1 ＝ 16q ＝12. 所以 S 5 ＝a 1  1 － q51 － q＝16 [ 1 － 125]1 －12＝ 31 ，故选 C. 【例 2 】 ( 20 10 年高考辽宁卷 ) 设 { an} 是由正数组成的等比数列 ， Sn为其前 n 项和 ． 已知a2a4＝ 1 ， S3＝ 7 ， 则 S5等于 ( ) ( A )152 (。