理学]同济大学高数第六版基本概念机公式总结

理学]同济大学高数第六版基本概念机公式总结内容摘要：

n 限制在 ]2,2[  上，得一单值函数，记为 xy arcsin ，它就是所取主值函数， ]2,2[  叫做主值区间，显然 2arc sin2   x ， 同理：将 xArcy cos 限制在 ],0[  上，得 xy arccos 将 xArcy tan 限制在 ]2,2[ 上，得 xy arctan 将 xArcy cot 限制在 ],0[  上，得 xarcy cot 从图中不难看出 xarcsin 和 xarctan 是单调递增的， xarccos 和 xarccot 是单调递减的。 六 复合函数和初等函数 ： 设 )(ufy ，定义域为 1D ， )(xu  ，定义域为 2D ，值域为 2W ，且 12 DW  ，这样对于 2Dx ，由 )(xu  可算出函数值 12 DWu  ，所以 1Du ，由 )(ufy 又可算出其函数值 y ，因此对于 2Dx ，有确定的值 y 与之对应，从而得一个以 x 为自变量， y 为因变量的函数，我们称之为以 )(ufy 为外函数， )(xu  为内函数复合成的复合函 数，记为 ))(( xfy  ，其中 u 为中间变量。 注 1：并非任何两函数都可以复合的， 2：复合可推广到三个或更多的函数上去， 3：在函数复合中，未必都有 )(ufy 、 )(xu  的形式，一般为 )(xfy 和 )(xgy ，这时候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有 )(xfy 和 )(xgy 之分。 初等函数 我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数，称为初等函数。 七 分段函数举例 第二节 数列的极限 教学目的：使学生理解数列极限的定义及性质，并能用定义证明一些简单数列的极限。 教学重点：数列极限的定义及性质。 一、数列的定义： 定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 3,2,1),(  nnfx n ，由于全体自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：  nxxx , 21 ，这就是最常见 的数列表现形式了，有时也简记为 nx 或数列 nx。 数列中的每一数称为数列的项，第 n 项 nx 称为一般项或通项。 注： 在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。 如果将 nx 依次在数轴上描出点的位置，限我们能否发现点的位置的变化趋势呢。 显然， nn 1,21是无限接近于 0 的； n2 是无增大的； 1)1(  n 的项是在 1 与 1 两点跳动的，不接近于某一常数；  nn 1 无限接近常数 1。 对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限 问题。 二、数列的极限 定义 ：若对 0 （不论  多么小），总  自然数 0N ，使得当 Nn 时都有 axn 成立，这是就称常数 a 是数列 nx 的极限，或称数列 nx 收敛于 a ，记为 axnn lim，或 axn（ n ）。 如果数列没有极限，就说数列是发散的。 注 1：  是衡量 nx 与 a 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。 然而，尽管  具 有任意性，但一经给出，就应视为不变。 （另外，  具有任意性，那么 2,2,2  等也具有任意性，它们也可代替  ） 2： N 是随  的变小而变大的，是  的函数，即 N 是依赖于  的。 在解题中， N 等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个 N ，使得当 Nn 时，有 axn 就行了，而不必求最小的 N。 3：有时找 N 比较困难，这时我们可把 axn 适当地变形、放大（千万不可缩小。 ），若放大后小于  ，那么必有 axn。 收敛数列的有关性质 ： 定理 1： （唯一性）数列 nx 不能收敛于两个不同的极限。 定理 2： （有界性）若数列 nx 收敛，那么它一定有界，即：对于数列 nx ，若  正数 M ，对一切n ，有 Mxn 。 注 ：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。 例如数列 1)1(  nnx 是有界的（ 1nx ），但数列不收敛。 第三节 函数的极限 教学目的：使学生理解函数极限的概念 ；理解函数左右极限的概念，以及函数极限存在与左、右 极限之间的关系。 理解函数极限的性质。 教学重点：函数极限的概念。 一、复习数列极限的定义及性质 二、导入新课： 由上节知，数列是自变量取自然数时的 函数， )(nfxn  ，因此，数列是函数的一种特殊情况。 对于函数，自变量的变化主要表现在两个方面： 一、 自变量 x 任意接近于有限值 0x ，记为 0xx ，相应的函数值 )(xf 的变化情况。 二、当自变量 x 的绝对值 x 无限增大，记 x ，相应的函数值 )(xf 的变化情况。 三、讲授新课： （一）自变量趋向有限值 0x 时函数的极限 与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值 0x 时的函数极限可理解为：当 0xx 时， Axf )(（ A 为某常数），即当 0xx 时， )(xf 与 A 无限地接近，或说 Axf )( 可任意小，亦即对于预先任意给定的正整数  （不论多么小），当 x 与 0x 充分接近时，可使得 Axf )( 小于 。 用数学的语言说，即 定义 1：如果对 0 （不论它多么小），总 0 ，使得对于适合不等式  00 xx 的一切 x 所对应的函数值 )(xf 满足：  Axf )( ，就称常数 A 为函数 )(xf 当 0xx 时的极限， 记为 Axfn  )(lim ，或 Axf )( （当 0xx 时） 注 1：“ x 与 0x 充分接近”在定义中表现为： 0 ，有  00 xx ，即 ),( 0  xUx。 显然  越小， x 与 0x 接近就越好，此  与数列极限中的 N 所起的作用是一样的，它也依 赖于 。 一般地，  越小，  相应地也小一些。 2：定义中 00 xx 表示 0xx ，这 说明当 0xx 时， )(xf 有无限与 )( 0xf 在 0x 点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与 )( 0xf 值也无关）。 3：几何解释：对 0 ，作两条平行直线   AyAy ,。 由定义，对此 0,  ，当   00 xxx ，且 0xx 时，有   AxfA )(。 即函数 )(xfy 的图形夹在直线   AyAy , 之间（ )( 0xf 可能除外）。 换言之：当 ),( 0  xUx 时， ),()( AUxf 。 从图中也可见  不唯一。 （二）左、右极限 在函数极限的定义中， x 是既从 0x 的左边（即从小于 0x 的方向）趋于 0x ，也从 0x 的右边（即从大于 0x 的方向）趋于 0x。 但有时只能或需要 x 从 0x 的某一侧趋于 0x 的极限。 如分段函数及在区间的端点处等等。 这样，就有必要引进单侧极限的定义： 定义 2： 对 0 ， 0 ，当 00 xxx   时， [当  00 xxx 时 ]，有  Axf )( .这时就称 A 为 )(xf 当 0xx 时的左 [右 ]极限，记为 Axfxx  )(lim 00 或 Axf  )0(。 [ Axfxx  )(lim 00或 Axf  )0( 0 ]。 定理： AxfxfAxfxxxxxx   )(l i m)(l i m)(l i m 00 000。 （三）自变量趋向无穷大时函数的极限 定义 3： 设 )(xf 当 )0(  aax 时是有定义的，若对 )(,0 aX  ，当 Xx 时，有 Axf )( ，就称 A 为 )(xf 当 x 时的极限，记为 Axfx  )(lim 或 Axf )(（当 x 时）。 注 1：设 )(xf 在 ]),((),[ ba  上有定义，若对 0,0  X ，当 )( XxXx  时，有  Axf )( ，就称 A 为 )(xf 当 )(  xx 时的极限，记为 Axfx  )(lim，或 Axf )( （当 x ）（ Axfx  )(lim，或 Axf )( （当 x ））。 2： AxfxfAxfxxx   )(l i m)(l i m)(l i m。 3：若 Axfx  )(lim，就称 Ay 为 )(xfy 的图形的水平渐近线（若 Axfx  )(lim或Axfx  )(lim ，有类似的渐近线）。 （四）函数极限的性质 定理（保号性） ：设 Axfxx  )(lim0， （ i） 若 )0(0  AA ，则 0 ，当 ),( 0  xUx 时， 0)( xf )0)(( xf。 （ ii） 若 )0)((0)(  xfxf ，必有 )0(0  AA。 第四节 无穷小与无穷大 教学目的： 1. 使学生理解无穷小的概念及性质； 2. 使学生理解无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系。 3. 掌握无穷小的比较方法 . （一） 无穷小 若 )(xf 当 0xx 或 x 时的极限为零，就称 )(xf 为当 0xx 或 x 时的无穷小，即有 定义 1： 对 ,0 若 )0(0  X ，使得当 )(0 0 Xxxx   时，有 )(xf 成立，就称 )(xf 为当 )(0  xxx 时的无穷小，记为 )0)(lim(0)(lim0   xfxf xxx。 注 1：除上两种之外，还有 0,0, 00  xxxxxx 的情形。 2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为 0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是 0函数，由此得： 0是唯一可作为无穷小的常数。 定理： 当自变量在同一变化过程 0xx （或 x ）中时： （ i） 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即： A 为 )(xf 的极限 Axf  )( 为无穷小。 （ ii） 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。 定理 ：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设 0)l i m (0l i m,0l i m  。 定理： 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设 u 有界， 0lim0lim   u。 注 1： u 与  都表示函数 )(xu 与 )(x ，而不是常数。 2： “ lim ”下放没标自变量的变化过程，这说明对 0xx 及 x 均成立，但须同一过程 推论 1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若 k 为常数， 0lim0lim   k。 推论 2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设 0)l i m (0l i ml i ml i m 2121  nn  。 二、无穷大 若当 0xx 或 x 时 )(xf ，就称 )(xf 为当 0xx 或 x 时的无穷大。 定义 2：若对 )0(0,0  XM  ，使得当 )(0 0 Xxxx   时，有 Mxf )( ，就称 )(xf 当 )(0  xxx 时的无穷大，记作 : ))(lim()(lim0   xfxf xxx。 注 1：同理还有  )(,)( xfxf 时的定义。 2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。 3：若  )(lim0 xfxx或  )(lim xfx，按通常意义将， )(xf 的极限不存在。 定理 ：当自变量在同一变化过 程中时， （ i） 若 )(xf 为无穷大，则)(1xf为无穷小。 （ ii） 若 )(xf 为无穷小，且 0)( xf ，则)(1xf为无穷大。 第五节 极限四则运算法则 教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限； 教学重点：有理函数极限的计算； 极限四。