空间向量的坐标

空间向量的坐标内容摘要：

( OA→＋ OB→＋ OC→) ＝13( a＋ b ＋ c ) ． 而 GH→＝ OH→－ OG→，又 ∵ OH→＝23OD→＝2312( OB→＋OC→) ＝13( b ＋ c ) ， ∴ GH→＝13( b ＋ c ) －13( a ＋ b ＋ c ) ＝－13a . 【名师点评】 ( 1 ) 由于 a 、 b 、 c 不共面，则 a 、b 、 c 可构成空间的一个基，则空间任一向量均可用 a 、 b 、 c 表示． ( 2 ) 要注意三角形重心的性质AGGD＝ 2. 空间向量的坐标表示 求空间向 量的坐标，关键是建立恰当的空间直角坐标系．在空间直角坐标系中，点 P 的坐标为 ( x ， y ， z ) ，则向量 OP→的坐标也是 ( x ， y ， z ) ． 例 2 已知在正四棱锥 PABCD中， O为底面中心，底面边长和高都是 2， E， F分别是侧棱 PA， PB的中点，如图所示，以 O为坐标原点，分别以射线DA， DC， OP的指向为 x轴， y轴， z轴的正方向，建立空间直角坐标系．分别写出点 A， B， C， D，E， F的坐标． 【思路点拨】 通过特殊点 (中点、轴上的点 )来求其他点的坐标． 【解】 设 i， j， k 分别是 x 轴， y 轴， z 轴正方向上的单位向量． 因为点 B 在坐标平面 x Oy 内，且底面正方形的中心为 O ，边长为 2 ，所以 O B→＝ i ＋ j，所以向量O B→的坐标为 ( 1 , 1 , 0 ) ，即点 B 的坐标为 ( 1 , 1 , 0 ) ． 同理可得 A (1 ，－ 1 , 0 ) ， C ( － 1 , 1 , 0 ) ， D ( － 1 ，－1 , 0 ) ． 又点 P 在 z 轴上，所以 O P→＝ 2 k ， 所以向量 O P→＝ ( 0 , 0 , 2 ) ，即点 P 的坐标为 ( 0 , 0 , 2 ) ． 因为 F 为侧棱 PB 的中点，所以 O F→＝12( O B→＋ O P→)＝12( i ＋ j ＋ 2 k ) ＝12i ＋12j ＋ k ，所以点 F 的坐标为(12，12， 1) ．同理点 E 的坐标为 (12，－12， 1) ． 故所求各点的坐标分别为 A (1 ，－ 1 , 0 ) ， B ( 1 , 1 , 0 ) ，C ( － 1 , 1 , 0 ) ， D ( － 1 ，－ 1 , 0 ) ， P ( 0 , 0 , 2 ) ， E (12，－12，1) ， F (12，12， 1) ． 自我挑战 如图，已知正方体 ABCD A 1 B 1 C。